Cálculo Ejemplos

$\ln (x^{2} - x)$

Paso 1

Escribe $\ln (x^{2} - x)$ como una función.

$f (x) = \ln (x^{2} - x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \ln (x^{2} - x) d x$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x^{2} - x)$ y $d v = 1$ .

$\ln (x^{2} - x) x - \int x \frac{2 x - 1}{x (x - 1)} d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $x$ y $\frac{2 x - 1}{x (x - 1)}$ .

$\ln (x^{2} - x) x - \int \frac{x (2 x - 1)}{x (x - 1)} d x$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (x^{2} - x) x - \int \frac{x (2 x - 1)}{x (x - 1)} d x$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (x^{2} - x) x - \int \frac{2 x - 1}{x - 1} d x$

Paso 6

Divide $2 x - 1$ por $x - 1$ .

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Paso 6.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$2 x$

$1$

Paso 6.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$2$
	$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$

Paso 6.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2$
$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$
			+	$2 x$	-	$2$

Paso 6.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x - 2$ .

				$2$
$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$
			-	$2 x$	+	$2$

Paso 6.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2$
$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$
			-	$2 x$	+	$2$
					+	$1$

Paso 6.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\ln (x^{2} - x) x - \int 2 + \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (x^{2} - x) x - (\int 2 d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\ln (x^{2} - x) x - (2 x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Paso 9

Sea $u = x - 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 9.1

Deja $u = x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 9.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 9.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 9.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (x^{2} - x) x - (2 x + C + \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (x^{2} - x) x - (2 x + C + \ln (| u |) + C)$

Paso 11

Simplifica.

$\ln (x^{2} - x) x - 2 x - \ln (| u |) + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$\ln (x^{2} - x) x - 2 x - \ln (| x - 1 |) + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \ln (x^{2} - x)$ .

$F (x) =$ $\ln (x^{2} - x) x - 2 x - \ln (| x - 1 |) + C$