Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} (\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{1}^{4} \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{4} \frac{4}{x^{2}} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$4 \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 \int_{1}^{4} x^{- 2} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Paso 8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Paso 9

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 \int_{1}^{4} x^{2} d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4})$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Paso 11.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.2.1

Evalúa $- x^{- 1}$ en $4$ y en $1$ .

$4 ((- 4^{- 1}) + 1^{- 1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Paso 11.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $4$ y en $1$ .

$4 (- 4^{- 1} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Paso 11.2.3

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $4$ y en $1$ .

$4 (- 4^{- 1} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4

Simplifica.

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Paso 11.2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{4} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 (- \frac{1}{4} + 1) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$4 (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{- 1 + 4}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.5

Suma $- 1$ y $4$ .

$4 (\frac{3}{4}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.6

Combina $4$ y $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.7

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{12}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.8

Cancela el factor común de $12$ y $4$ .

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Paso 11.2.4.8.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.4.8.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4 (1)} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{1} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.8.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$3 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.9

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$3 + 2 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.10

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 11.2.4.10.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.4.10.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.10.2.2

Cancela el factor común.

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.10.2.3

Reescribe la expresión.

$3 + 2 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.10.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$3 + 2 (8 - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.11

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 + 2 (8 - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.12

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 + 2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.13

Combina $8$ y $\frac{2}{2}$ .

$3 + 2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 + 2 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.15

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.4.15.1

Multiplica $8$ por $2$ .

$3 + 2 \frac{16 - 1}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.15.2

Resta $1$ de $16$ .

$3 + 2 (\frac{15}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.16

Combina $2$ y $\frac{15}{2}$ .

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.17

Multiplica $2$ por $15$ .

$3 + \frac{30}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.18

Cancela el factor común de $30$ y $2$ .

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Paso 11.2.4.18.1

Factoriza $2$ de $30$ .

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.18.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.4.18.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2 (1)} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.18.2.2

Cancela el factor común.

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.18.2.3

Reescribe la expresión.

$3 + \frac{15}{1} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.18.2.4

Divide $15$ por $1$ .

$3 + 15 - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.19

Suma $3$ y $15$ .

$18 - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.20

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$18 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 11.2.4.21

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$18 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3})$

Paso 11.2.4.22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$18 - 3 \frac{64 - 1}{3}$

Paso 11.2.4.23

Resta $1$ de $64$ .

$18 - 3 (\frac{63}{3})$

Paso 11.2.4.24

Cancela el factor común de $63$ y $3$ .

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Paso 11.2.4.24.1

Factoriza $3$ de $63$ .

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3}$

Paso 11.2.4.24.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.4.24.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)}$

Paso 11.2.4.24.2.2

Cancela el factor común.

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1}$

Paso 11.2.4.24.2.3

Reescribe la expresión.

$18 - 3 (\frac{21}{1})$

Paso 11.2.4.24.2.4

Divide $21$ por $1$ .

$18 - 3 \cdot 21$

Paso 11.2.4.25

Multiplica $- 3$ por $21$ .

$18 - 63$

Paso 11.2.4.26

Resta $63$ de $18$ .

$- 45$

Paso 12