Cálculo Ejemplos

$\ln (x^{2} y)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} y$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} y$ .

$\frac{1}{x^{2} y} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{2} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} y} (y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1

Combina $y$ y $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$\frac{y}{x^{2} y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x^{2} y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Paso 2.4

Simplifica los términos.

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Paso 2.4.1

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Paso 2.4.2

Combina $\frac{2}{x^{2}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Paso 2.4.3

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 2.4.3.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Paso 2.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Paso 2.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Paso 2.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{x}$