Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} - 3 x + 6}{1 + 4 x - 7 x^{2}}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 2.1.1.2

Divide $5$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 2.1.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x$ de $- 3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot - 3}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{- 3}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $x$ de $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{x \cdot 4}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 2.2.2.2

Divide $- 7$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 7}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 7}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 7}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{5 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 7}$

Paso 2.6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 7}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 - 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 7}$

Paso 4

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 - 3 \cdot 0 + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 7}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 - 3 \cdot 0 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} - 7}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{5 - 3 \cdot 0 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} - lim_{x \to \infty} 7}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 - 3 \cdot 0 + 6 \cdot 0}{0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} - lim_{x \to \infty} 7}$

Paso 8

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 - 3 \cdot 0 + 6 \cdot 0}{0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 7}$

Paso 9

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 - 3 \cdot 0 + 6 \cdot 0}{0 + 4 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 7}$

Paso 10

Evalúa el límite.

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{5 - 3 \cdot 0 + 6 \cdot 0}{0 + 4 \cdot 0 - 1 \cdot 7}$

Paso 10.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{5 + 0 + 6 \cdot 0}{0 + 4 \cdot 0 - 1 \cdot 7}$

Paso 10.2.1.2

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{5 + 0 + 0}{0 + 4 \cdot 0 - 1 \cdot 7}$

Paso 10.2.1.3

Suma $5 + 0$ y $0$ .

$\frac{5 + 0}{0 + 4 \cdot 0 - 1 \cdot 7}$

Paso 10.2.1.4

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{5}{0 + 4 \cdot 0 - 1 \cdot 7}$

Paso 10.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.2.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{5}{0 + 0 - 1 \cdot 7}$

Paso 10.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{5}{0 + 0 - 7}$

Paso 10.2.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{5}{0 - 7}$

Paso 10.2.2.4

Resta $7$ de $0$ .

$\frac{5}{- 7}$

Paso 10.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{7}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{5}{7}$

Forma decimal:

$- 0.\overline{714285}$