Cálculo Ejemplos

$\int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{9}{x \sqrt{4 x^{2} - 4}} d x$

Paso 1

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} - 4}} d x$

Paso 2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 4}} d x$

Paso 2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 2^{2}}} d x$

Paso 3

La integral de $\frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 2^{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)$ .

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica.

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.1.1

Cancela el factor común.

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Paso 4.1.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| x |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Paso 4.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $arcsec (| x |)$ .

$9 (\frac{arcsec (| x |)}{2}]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{arcsec (| x |)}{2}$ en $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ y en $- 2$ .

$9 (\frac{arcsec (| - \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{2} - \frac{arcsec (| - 2 |)}{2})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 \frac{arcsec (| - \frac{2 \sqrt{3}}{3} |) - arcsec (| - 2 |)}{2}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ es aproximadamente $- 1.15470053$ , que es negativo, así es que niega $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ y elimina el valor absoluto.

$9 \frac{arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - arcsec (| - 2 |)}{2}$

Paso 5.2.2

El valor exacto de $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ es $\frac{π}{6}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - arcsec (| - 2 |)}{2}$

Paso 5.2.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 2$ y $0$ es $2$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - arcsec (2)}{2}$

Paso 5.2.4

El valor exacto de $arcsec (2)$ es $\frac{π}{3}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π}{3}}{2}$

Paso 5.3

Para escribir $- \frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}}{2}$

Paso 5.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.4.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}}{2}$

Paso 5.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}}{2}$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 \frac{\frac{π - π \cdot 2}{6}}{2}$

Paso 5.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$9 \frac{\frac{π - 2 π}{6}}{2}$

Paso 5.6.2

Resta $2 π$ de $π$ .

$9 \frac{\frac{- π}{6}}{2}$

Paso 5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9 \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Paso 5.8

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$9 (- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 5.9

Multiplica $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.9.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{6}$ .

$9 (- \frac{π}{2 \cdot 6})$

Paso 5.9.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$9 (- \frac{π}{12})$

Paso 5.10

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.10.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{12}$ al numerador.

$9 \frac{- π}{12}$

Paso 5.10.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$3 (3) \frac{- π}{12}$

Paso 5.10.3

Factoriza $3$ de $12$ .

$3 \cdot 3 \frac{- π}{3 \cdot 4}$

Paso 5.10.4

Cancela el factor común.

$3 \cdot 3 \frac{- π}{3 \cdot 4}$

Paso 5.10.5

Reescribe la expresión.

$3 \frac{- π}{4}$

Paso 5.11

Combina $3$ y $\frac{- π}{4}$ .

$\frac{3 (- π)}{4}$

Paso 5.12

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 π}{4}$

Paso 5.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 π}{4}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{3 π}{4}$

Forma decimal:

$- 2.35619449 \dots$

Paso 7