Cálculo Ejemplos

$y = 9 x^{\frac{5}{2}} - 7 x^{\frac{3}{2}}$ , $x = 4$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{\frac{5}{2}} - 7 x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{5}{2}}]$ .

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Paso 2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $5$ .

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.7

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$9 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.8

Combina $9$ y $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{9 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.9

Multiplica $5$ por $9$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Paso 3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Paso 3.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 3.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3.8

Combina $- 7$ y $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 7 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 3.9

Multiplica $3$ por $- 7$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 21 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{21 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 4

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$\frac{45 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{45 {(4)}^{\frac{3}{2}} - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{45 {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{45 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{45 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{45 \cdot 2^{3} - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{45 \cdot 8 - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.2.5

Multiplica $45$ por $8$ .

$\frac{360 - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.2.6

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{360 - 21 {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.2.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{360 - 21 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Paso 5.2.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{360 - 21 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Paso 5.2.8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{360 - 21 \cdot 2^{1}}{2}$

Paso 5.2.9

Evalúa el exponente.

$\frac{360 - 21 \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.10

Multiplica $- 21$ por $2$ .

$\frac{360 - 42}{2}$

Paso 5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1

Resta $42$ de $360$ .

$\frac{318}{2}$

Paso 5.3.2

Divide $318$ por $2$ .

$159$