Cálculo Ejemplos

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{e^{3 t} - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{t \to 0} \sin (t)}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - 1}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - 1}$

Paso 1.1.2.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} e^{3 t} - lim_{t \to 0} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{0}{e^{lim_{t \to 0} 3 t} - lim_{t \to 0} 1}$

Paso 1.1.3.1.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$\frac{0}{e^{3 lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1}$

Paso 1.1.3.1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{e^{3 lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{0}{e^{3 \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{e^{3 t} - 1} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 1]}$

Paso 1.3.2

La derivada de $\sin (t)$ con respecto a $t$ es $\cos (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 1]}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{3 t} - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d t} [e^{3 t}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = 3 t$ .

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Paso 1.3.4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Paso 1.3.4.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{u} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Paso 1.3.4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Paso 1.3.4.2

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Paso 1.3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Paso 1.3.4.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t} \cdot 3 + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Paso 1.3.4.5

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{3 e^{3 t} + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Paso 1.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{3 e^{3 t} + 0}$

Paso 1.3.6

Suma $3 e^{3 t}$ y $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{3 e^{3 t}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$\frac{1}{3} lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{e^{3 t}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \cos (t)}{lim_{t \to 0} e^{3 t}}$

Paso 2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} e^{3 t}}$

Paso 2.4

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t)}{e^{lim_{t \to 0} 3 t}}$

Paso 2.5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t)}{e^{3 lim_{t \to 0} t}}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $t$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{e^{3 lim_{t \to 0} t}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{e^{3 \cdot 0}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combinar.

$\frac{1 \cos (0)}{3 e^{3 \cdot 0}}$

Paso 4.2

Multiplica $\cos (0)$ por $1$ .

$\frac{\cos (0)}{3 e^{3 \cdot 0}}$

Paso 4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{\cos (0)}{3 e^{0}}$

Paso 4.3.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{\cos (0)}{3 \cdot 1}$

Paso 4.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{3 \cdot 1}$

Paso 4.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{3}$