Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{2} \tan (2 x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.2.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Combina $\sec^{2} (2 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.3

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.3.1

Combina $2$ y $\frac{\sec^{2} (2 x)}{2}$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3.2.2

Divide $\sec^{2} (2 x)$ por $1$ .

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x) \cdot 1$

Paso 1.3.5

Multiplica $\sec^{2} (2 x)$ por $1$ .

$\sec^{2} (2 x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sec (2 x)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sec (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.3

Eleva $\sec (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.4

Eleva $\sec (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 2 {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.6

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.7

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1$

Paso 2.10

Multiplica $4$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\sec^{2} (2 x) = 0$

Paso 4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0}$

Paso 5

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 5.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sec (2 x) = \pm 0$

Paso 5.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$\sec (2 x) = 0$

Paso 6

El rango de la secante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $0$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 7

Evalúa la segunda derivada en $x =$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$4 \sec^{2} (2) \tan (2)$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 8.1

Evalúa $\sec (2)$ .

$4 \cdot {1.00060954}^{2} \tan (2)$

Paso 8.2

Eleva $1.00060954$ a la potencia de $2$ .

$4 \cdot 1.00121946 \tan (2)$

Paso 8.3

Multiplica $4$ por $1.00121946$ .

$4.00487784 \tan (2)$

Paso 8.4

Evalúa $\tan (2)$ .

$4.00487784 \cdot 0.03492076$

Paso 8.5

Multiplica $4.00487784$ por $0.03492076$ .

$0.13985341$

Paso 9

$x =$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x =$ es un mínimo local

Paso 10

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ .

$(, i s a (l o c a l) (m i n i m u m))$ es un mínimo local

Paso 11