Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \infty} \sqrt{x^{2} + x + 1} + x$

Paso 1

Multiplica para racionalizar el numerador.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + x + 1} + x) (\sqrt{x^{2} + x + 1} - x)}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Expande el numerador con el método PEIU (primero, exterior, interior, último).

$lim_{x \to - \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + x + 1} (- x) + \sqrt{x^{2} + x + 1} x - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}$

Paso 2.2.2

Suma $x + 1$ y $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}$

Paso 3

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - \frac{x}{x}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - \frac{x}{x}}$

Paso 4.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - \frac{x}{x}}$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Paso 4.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Paso 4.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 4.2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Paso 4.2.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Paso 4.2.2.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.2.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Paso 4.2.2.2.3.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Paso 4.2.2.2.3.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Paso 4.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Paso 4.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Paso 4.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 + 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{1 + 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Paso 6.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Paso 6.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Paso 6.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1 + 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Paso 8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1 + 0 + 0} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Paso 9

Evalúa el límite.

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1 + 0 + 0} - 1 \cdot 1}$

Paso 9.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.2.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1 + 0 + 0} - 1 \cdot 1}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.2.1

Suma $1 + 0$ y $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1 + 0} - 1 \cdot 1}$

Paso 9.2.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Paso 9.2.2.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Paso 9.2.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{- 1 - 1 \cdot 1}$

Paso 9.2.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{- 1 - 1}$

Paso 9.2.2.6

Resta $1$ de $- 1$ .

$\frac{1}{- 2}$

Paso 9.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.5$