Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - - \sin (x)$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

Paso 1.3.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\cos (x) + \sin (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (x) + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Paso 2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Paso 4

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 5

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 6

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7

Separa las fracciones.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 8

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 9

Divide $0$ por $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Paso 10

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Paso 11

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\tan (x) = - 1$

Paso 12

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Paso 13

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.1

El valor exacto de $\arctan (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Paso 14

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Paso 15

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 15.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Paso 15.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 16

La solución a la ecuación $x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{π}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \sin (- \frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Paso 18

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 18.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.1.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- \sin (\frac{7 π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Paso 18.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Paso 18.1.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Paso 18.1.4

Multiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 18.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Paso 18.1.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Paso 18.1.5

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.1.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Paso 18.1.7

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 18.2

Simplifica los términos.

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Paso 18.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Paso 18.2.2

Suma $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 18.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 18.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 18.2.3.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2}$

Paso 19

$x = - \frac{π}{4}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - \frac{π}{4}$ es un mínimo local

Paso 20

Obtén el valor de y cuando $x = - \frac{π}{4}$ .

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Paso 20.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{π}{4}$ en la expresión.

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (- \frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Paso 20.2

Simplifica el resultado.

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Paso 20.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 20.2.1.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (\frac{7 π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Paso 20.2.1.2

$f (- \frac{π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Paso 20.2.1.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (- \frac{π}{4})$

Paso 20.2.1.4

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{7 π}{4})$

Paso 20.2.1.5

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Paso 20.2.1.6

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 20.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 20.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Paso 20.2.2.2

Resta $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 20.2.2.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 20.2.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Paso 20.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 20.2.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 20.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 20.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Paso 20.2.2.3.2.4

Divide $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \sqrt{2}$

Paso 20.2.3

La respuesta final es $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Paso 21

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{3 π}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 22

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 22.1

Simplifica cada término.

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Paso 22.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Paso 22.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 22.2

Simplifica los términos.

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Paso 22.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Paso 22.2.2

Resta $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 22.2.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 22.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Paso 22.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 22.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 22.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 22.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Paso 22.2.3.2.4

Divide $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$- \sqrt{2}$

Paso 23

$x = \frac{3 π}{4}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{3 π}{4}$ es un máximo local

Paso 24

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Paso 24.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3 π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 24.2

Simplifica el resultado.

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Paso 24.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 24.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 24.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 24.2.1.3

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Paso 24.2.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 24.2.1.5

Multiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 24.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 24.2.1.5.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 24.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 24.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Paso 24.2.2.2

Suma $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 24.2.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 24.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 24.2.2.3.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2}$

Paso 24.2.3

La respuesta final es $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Paso 25

Estos son los extremos locales de $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{4}, - \sqrt{2})$ es un mínimo local

$(\frac{3 π}{4}, \sqrt{2})$ es un máximo local

Paso 26