Cálculo Ejemplos

$\int 20 x^{3} \sec (5 x^{4} - 1) \tan (5 x^{4} - 1) d x$

Paso 1

Dado que $20$ es constante con respecto a $x$ , mueve $20$ fuera de la integral.

$20 \int x^{3} \sec (5 x^{4} - 1) \tan (5 x^{4} - 1) d x$

Paso 2

Sea $u = 5 x^{4} - 1$ . Entonces $d u = 20 x^{3} d x$ , de modo que $\frac{1}{20} d u = x^{3} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 5 x^{4} - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $5 x^{4} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} - 1]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{4} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$20 x^{3} + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $20 x^{3}$ y $0$ .

$20 x^{3}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$20 \int \sec (u) \tan (u) \frac{1}{20} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{20}$ y $\sec (u)$ .

$20 \int \frac{\sec (u)}{20} \tan (u) d u$

Paso 3.2

Combina $\frac{\sec (u)}{20}$ y $\tan (u)$ .

$20 \int \frac{\sec (u) \tan (u)}{20} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{20}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{20}$ fuera de la integral.

$20 (\frac{1}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{20}$ y $20$ .

$\frac{20}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $20$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{20}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \sec (u) \tan (u) d u$

Paso 5.3

Multiplica $\int \sec (u) \tan (u) d u$ por $1$ .

$\int \sec (u) \tan (u) d u$

Paso 6

Como la derivada de $\sec (u)$ es $\sec (u) \tan (u)$ , la integral de $\sec (u) \tan (u)$ es $\sec (u)$ .

$\sec (u) + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x^{4} - 1$ .

$\sec (5 x^{4} - 1) + C$