Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + 0$

Paso 1.3.3

Suma $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ y $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Paso 2.2.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} (2 x)$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 2 \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 2 \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 2$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.3

Diferencia.

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Paso 4.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + 0$

Paso 4.1.3.3

Suma $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ y $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x = 0$

Paso 5.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx - 1.62662472, 0, 0.16866593, 1.45795878$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 1.62662472, 0, 0.16866593, 1.45795878$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1.62662472$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$20 {(- 1.62662472)}^{3} - 24 \cdot - 1.62662472 + 2$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Eleva $- 1.62662472$ a la potencia de $3$ .

$20 \cdot - 4.30389932 - 24 \cdot - 1.62662472 + 2$

Paso 9.1.2

Multiplica $20$ por $- 4.30389932$ .

$- 86.07798657 - 24 \cdot - 1.62662472 + 2$

Paso 9.1.3

Multiplica $- 24$ por $- 1.62662472$ .

$- 86.07798657 + 39.03899328 + 2$

Paso 9.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 9.2.1

Suma $- 86.07798657$ y $39.03899328$ .

$- 47.03899328 + 2$

Paso 9.2.2

Suma $- 47.03899328$ y $2$ .

$- 45.03899328$

Paso 10

$x = - 1.62662472$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 1.62662472$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = - 1.62662472$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.62662472$ en la expresión.

$f (- 1.62662472) = {(- 1.62662472)}^{5} - 4 {(- 1.62662472)}^{3} + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Eleva $- 1.62662472$ a la potencia de $5$ .

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 - 4 {(- 1.62662472)}^{3} + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

Paso 11.2.1.2

Eleva $- 1.62662472$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 - 4 \cdot - 4.30389932 + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

Paso 11.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4.30389932$ .

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 + 17.21559731 + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

Paso 11.2.1.4

Eleva $- 1.62662472$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 + 17.21559731 + 2.64590798 + 2$

Paso 11.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 11.2.2.1

Suma $- 11.38772158$ y $17.21559731$ .

$f (- 1.62662472) = 5.82787573 + 2.64590798 + 2$

Paso 11.2.2.2

Suma $5.82787573$ y $2.64590798$ .

$f (- 1.62662472) = 8.47378371 + 2$

Paso 11.2.2.3

Suma $8.47378371$ y $2$ .

$f (- 1.62662472) = 10.47378371$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $10.47378371$ .

$y = 10.47378371$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$20 {(0)}^{3} - 24 \cdot 0 + 2$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$20 \cdot 0 - 24 \cdot 0 + 2$

Paso 13.1.2

Multiplica $20$ por $0$ .

$0 - 24 \cdot 0 + 2$

Paso 13.1.3

Multiplica $- 24$ por $0$ .

$0 + 0 + 2$

Paso 13.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 13.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 2$

Paso 13.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$2$

Paso 14

$x = 0$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{5} - 4 {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 2$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 2$

Paso 15.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + {(0)}^{2} + 2$

Paso 15.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + {(0)}^{2} + 2$

Paso 15.2.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 2$

Paso 15.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 15.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Paso 15.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Paso 15.2.2.3

Suma $0$ y $2$ .

$f (0) = 2$

Paso 15.2.3

La respuesta final es $2$ .

$y = 2$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada en $x = 0.16866593$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$20 {(0.16866593)}^{3} - 24 \cdot 0.16866593 + 2$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 17.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.1.1

Eleva $0.16866593$ a la potencia de $3$ .

$20 \cdot 0.00479824 - 24 \cdot 0.16866593 + 2$

Paso 17.1.2

Multiplica $20$ por $0.00479824$ .

$0.09596483 - 24 \cdot 0.16866593 + 2$

Paso 17.1.3

Multiplica $- 24$ por $0.16866593$ .

$0.09596483 - 4.0479824 + 2$

Paso 17.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 17.2.1

Resta $4.0479824$ de $0.09596483$ .

$- 3.95201757 + 2$

Paso 17.2.2

Suma $- 3.95201757$ y $2$ .

$- 1.95201757$

Paso 18

$x = 0.16866593$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0.16866593$ es un máximo local

Paso 19

Obtén el valor de y cuando $x = 0.16866593$ .

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Paso 19.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.16866593$ en la expresión.

$f (0.16866593) = {(0.16866593)}^{5} - 4 {(0.16866593)}^{3} + {(0.16866593)}^{2} + 2$

Paso 19.2

Simplifica el resultado.

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Paso 19.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 19.2.1.1

Eleva $0.16866593$ a la potencia de $5$ .

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 4 {(0.16866593)}^{3} + {(0.16866593)}^{2} + 2$

Paso 19.2.1.2

Eleva $0.16866593$ a la potencia de $3$ .

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 4 \cdot 0.00479824 + {(0.16866593)}^{2} + 2$

Paso 19.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $0.00479824$ .

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 0.01919296 + {(0.16866593)}^{2} + 2$

Paso 19.2.1.4

Eleva $0.16866593$ a la potencia de $2$ .

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 0.01919296 + 0.02844819 + 2$

Paso 19.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 19.2.2.1

Resta $0.01919296$ de $0.0001365$ .

$f (0.16866593) = - 0.01905646 + 0.02844819 + 2$

Paso 19.2.2.2

Suma $- 0.01905646$ y $0.02844819$ .

$f (0.16866593) = 0.00939173 + 2$

Paso 19.2.2.3

Suma $0.00939173$ y $2$ .

$f (0.16866593) = 2.00939173$

Paso 19.2.3

La respuesta final es $2.00939173$ .

$y = 2.00939173$

Paso 20

Evalúa la segunda derivada en $x = 1.45795878$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$20 {(1.45795878)}^{3} - 24 \cdot 1.45795878 + 2$

Paso 21

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 21.1

Simplifica cada término.

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Paso 21.1.1

Eleva $1.45795878$ a la potencia de $3$ .

$20 \cdot 3.09910108 - 24 \cdot 1.45795878 + 2$

Paso 21.1.2

Multiplica $20$ por $3.09910108$ .

$61.98202173 - 24 \cdot 1.45795878 + 2$

Paso 21.1.3

Multiplica $- 24$ por $1.45795878$ .

$61.98202173 - 34.99101086 + 2$

Paso 21.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 21.2.1

Resta $34.99101086$ de $61.98202173$ .

$26.99101087 + 2$

Paso 21.2.2

Suma $26.99101087$ y $2$ .

$28.99101087$

Paso 22

$x = 1.45795878$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 1.45795878$ es un mínimo local

Paso 23

Obtén el valor de y cuando $x = 1.45795878$ .

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Paso 23.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.45795878$ en la expresión.

$f (1.45795878) = {(1.45795878)}^{5} - 4 {(1.45795878)}^{3} + {(1.45795878)}^{2} + 2$

Paso 23.2

Simplifica el resultado.

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Paso 23.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 23.2.1.1

Eleva $1.45795878$ a la potencia de $5$ .

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 4 {(1.45795878)}^{3} + {(1.45795878)}^{2} + 2$

Paso 23.2.1.2

Eleva $1.45795878$ a la potencia de $3$ .

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 4 \cdot 3.09910108 + {(1.45795878)}^{2} + 2$

Paso 23.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $3.09910108$ .

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 12.39640434 + {(1.45795878)}^{2} + 2$

Paso 23.2.1.4

Eleva $1.45795878$ a la potencia de $2$ .

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 12.39640434 + 2.12564382 + 2$

Paso 23.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 23.2.2.1

Resta $12.39640434$ de $6.58758507$ .

$f (1.45795878) = - 5.80881926 + 2.12564382 + 2$

Paso 23.2.2.2

Suma $- 5.80881926$ y $2.12564382$ .

$f (1.45795878) = - 3.68317544 + 2$

Paso 23.2.2.3

Suma $- 3.68317544$ y $2$ .

$f (1.45795878) = - 1.68317544$

Paso 23.2.3

La respuesta final es $- 1.68317544$ .

$y = - 1.68317544$

Paso 24

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$ .

$(- 1.62662472, 10.47378371)$ es un máximo local

$(0, 2)$ es un mínimo local

$(0.16866593, 2.00939173)$ es un máximo local

$(1.45795878, - 1.68317544)$ es un mínimo local

Paso 25