Cálculo Ejemplos

$\int 2 \sqrt{x} \sqrt{1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.3.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.3.3

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.3.6

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{1}})}^{2}) x} d x$

Paso 1.3.6.5

Simplifica.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x})}^{2}) x} d x$

Paso 1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{x}}{x}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Paso 1.5

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Paso 1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}) x} d x$

Paso 1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Paso 1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Paso 1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

Paso 1.5.5

Simplifica.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x}{x^{2}}) x} d x$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.6.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

Paso 1.6.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}) x} d x$

Paso 1.6.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.6.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}) x} d x$

Paso 1.6.3.2

Cancela el factor común.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}) x} d x$

Paso 1.6.3.3

Reescribe la expresión.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{1}{x}) x} d x$

Paso 1.7

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int 2 \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{1}{x}) x} d x$

Paso 1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int 2 \sqrt{\frac{x + 1}{x} x} d x$

Paso 1.9

Combina $\frac{x + 1}{x}$ y $x$ .

$\int 2 \sqrt{\frac{(x + 1) x}{x}} d x$

Paso 1.10

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.10.1

Cancela el factor común.

$\int 2 \sqrt{\frac{(x + 1) x}{x}} d x$

Paso 1.10.2

Divide $x + 1$ por $1$ .

$\int 2 \sqrt{x + 1} d x$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \sqrt{x + 1} d x$

Paso 3

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int \sqrt{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Combina $2$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$