Cálculo Ejemplos

$\int_{- 1}^{1} e^{x} - (x^{2} - 1) d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 1}^{1} e^{x} d x + \int_{- 1}^{1} - (x^{2} - 1) d x$

Paso 2

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$e^{x}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - (x^{2} - 1) d x$

Paso 3

Multiplica $- (x^{2} - 1)$ .

$e^{x}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - x^{2} - - 1 d x$

Paso 4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{x}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - x^{2} + 1 d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{x}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{x}]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{x}]_{- 1}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x$

Paso 8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$e^{x}]_{- 1}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$e^{x}]_{- 1}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Combina $e^{x}]_{- 1}^{1}$ y $x]_{- 1}^{1}$ .

$e^{x} + x]_{- 1}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Paso 10.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.2.1

Evalúa $e^{x} + x$ en $1$ y en $- 1$ .

$(e^{1} + 1) - (e^{- 1} - 1) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Paso 10.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $1$ y en $- 1$ .

$(e^{1} + 1) - (e^{- 1} - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 10.2.3

Simplifica.

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Paso 10.2.3.1

Simplifica.

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 10.2.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Paso 10.2.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3})$

Paso 10.2.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3})$

Paso 10.2.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Paso 10.2.3.6

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

Paso 10.2.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - \frac{1 + 1}{3}$

Paso 10.2.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$e + 1 - (e^{- 1} - 1) - \frac{2}{3}$

Paso 10.2.3.9

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$e + \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - (e^{- 1} - 1)$

Paso 10.2.3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e + \frac{3 - 2}{3} - (e^{- 1} - 1)$

Paso 10.2.3.11

Resta $2$ de $3$ .

$e + \frac{1}{3} - (e^{- 1} - 1)$

Paso 10.2.3.12

Para escribir $- (e^{- 1} - 1)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$e + \frac{1}{3} - (e^{- 1} - 1) \cdot \frac{3}{3}$

Paso 10.2.3.13

Combina $- (e^{- 1} - 1)$ y $\frac{3}{3}$ .

$e + \frac{1}{3} + \frac{- (e^{- 1} - 1) \cdot 3}{3}$

Paso 10.2.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e + \frac{1 - (e^{- 1} - 1) \cdot 3}{3}$

Paso 10.2.3.15

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$e + \frac{1 - 3 (e^{- 1} - 1)}{3}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e + \frac{1 - 3 (\frac{1}{e} - 1)}{3}$

Paso 11.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e + \frac{1 - 3 \frac{1}{e} - 3 \cdot - 1}{3}$

Paso 11.1.1.3

Combina $- 3$ y $\frac{1}{e}$ .

$e + \frac{1 + \frac{- 3}{e} - 3 \cdot - 1}{3}$

Paso 11.1.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$e + \frac{1 + \frac{- 3}{e} + 3}{3}$

Paso 11.1.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e + \frac{1 - \frac{3}{e} + 3}{3}$

Paso 11.1.1.6

Suma $1$ y $3$ .

$e + \frac{4 - \frac{3}{e}}{3}$

Paso 11.1.1.7

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e}{e}$ .

$e + \frac{\frac{4 e}{e} - \frac{3}{e}}{3}$

Paso 11.1.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e + \frac{\frac{4 e - 3}{e}}{3}$

Paso 11.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e + \frac{4 e - 3}{e} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 11.1.3

Multiplica $\frac{4 e - 3}{e}$ por $\frac{1}{3}$ .

$e + \frac{4 e - 3}{e \cdot 3}$

Paso 11.1.4

Mueve $3$ a la izquierda de $e$ .

$e + \frac{4 e - 3}{3 e}$

Paso 11.2

Para escribir $e$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 e}{3 e}$ .

$e \cdot \frac{3 e}{3 e} + \frac{4 e - 3}{3 e}$

Paso 11.3

Combina $e$ y $\frac{3 e}{3 e}$ .

$\frac{e (3 e)}{3 e} + \frac{4 e - 3}{3 e}$

Paso 11.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e (3 e) + 4 e - 3}{3 e}$

Paso 11.5

Simplifica el numerador.

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Paso 11.5.1

Mueve $3$ a la izquierda de $e$ .

$\frac{3 \cdot e e + 4 e - 3}{3 e}$

Paso 11.5.2

Multiplica $3 e e$ .

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Paso 11.5.2.1

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (e^{1} e) + 4 e - 3}{3 e}$

Paso 11.5.2.2

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (e^{1} e^{1}) + 4 e - 3}{3 e}$

Paso 11.5.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 e^{1 + 1} + 4 e - 3}{3 e}$

Paso 11.5.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 e^{2} + 4 e - 3}{3 e}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3 e^{2} + 4 e - 3}{3 e}$

Forma decimal:

$3.68373572 \dots$

Paso 13