Cálculo Ejemplos

$\int \frac{a + b x^{2}}{\sqrt{3 a x + b x^{3}}} d a$

Paso 1

Sea $u = 3 a x + b x^{3}$ . Entonces $d u = 3 x d a$ , de modo que $\frac{1}{3 x} d u = d a$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 3 a x + b x^{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d a}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 a x + b x^{3}$ .

$\frac{d}{d a} [3 a x + b x^{3}]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 a x + b x^{3}$ con respecto a $a$ es $\frac{d}{d a} [3 a x] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$ .

$\frac{d}{d a} [3 a x] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d a} [3 a x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $3 x$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $3 a x$ con respecto a $a$ es $3 x \frac{d}{d a} [a]$ .

$3 x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 x + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $b x^{3}$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $b x^{3}$ con respecto a $a$ es $0$ .

$3 x + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $3 x$ y $0$ .

$3 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + b x^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Para escribir $b x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + b x^{2} \cdot \frac{3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Paso 2.2

Combina $b x^{2}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + \frac{b x^{2} \cdot 3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{- b x^{2} + b x^{2} \cdot 3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Paso 2.4

Mueve $3$ a la izquierda de $b x^{2}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{- b x^{2} + 3 \cdot (b x^{2})}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Paso 2.5

Suma $- b x^{2}$ y $3 b x^{2}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Paso 2.6

Multiplica $\frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}}$ por $\frac{3 x}{3 x}$ .

$\int \frac{3 x}{3 x} \cdot \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}} \frac{1}{3 x} d u$

Paso 2.7

Combinar.

$\int \frac{3 x (\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Paso 2.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{3 x \frac{u}{3 x} + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Paso 2.9

Cancela el factor común de $3 x$ .

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Paso 2.9.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{3 x \frac{u}{3 x} + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Paso 2.9.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{u + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Paso 2.10

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.10.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\int \frac{u + 3 (x) \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Paso 2.10.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{u + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Paso 2.10.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{u + x (2 b x^{2})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Paso 2.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{u + 2 b (x^{1} x^{2})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Paso 2.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{u + 2 b x^{1 + 2}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Paso 2.13

Suma $1$ y $2$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

Paso 2.14

Multiplica $\frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u}}$ por $\frac{1}{3 x}$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u} (3 x)} d u$

Paso 2.15

Multiplica $3$ por $3$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x \sqrt{u} x} d u$

Paso 2.16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 (x^{1} x) \sqrt{u}} d u$

Paso 2.17

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 (x^{1} x^{1}) \sqrt{u}} d u$

Paso 2.18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x^{1 + 1} \sqrt{u}} d u$

Paso 2.19

Suma $1$ y $1$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x^{2} \sqrt{u}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{9 x^{2}}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{9 x^{2}}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int \frac{u + 2 b x^{3}}{\sqrt{u}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int \frac{u + 2 b x^{3}}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 4.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 4.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Expande $(u + 2 b x^{3}) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5.6

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5.7

Reordena $u^{\frac{1}{2}}$ y $2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{9 x^{2}} (\int 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Paso 7

Dado que $2 b x^{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2 b x^{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

Paso 10.2

Simplifica.

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} u^{\frac{1}{2}} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 a x + b x^{3}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Paso 12

Reordena los términos.

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{3}{2}}) + C$