Cálculo Ejemplos

$- 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{- x}]$ .

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Paso 2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 2 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$- 2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 2.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$- 2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 2.9

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 2.10

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Paso 3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

Paso 3.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

Paso 3.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (- e^{- x})$

Paso 3.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 2 e^{- x}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 (x (- e^{- x})) - 2 e^{- x} - 2 e^{- x}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 (x (e^{- x})) - 2 e^{- x} - 2 e^{- x}$

Paso 4.2.2

Resta $2 e^{- x}$ de $- 2 e^{- x}$ .

$2 x e^{- x} - 4 e^{- x}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$2 e^{- x} x - 4 e^{- x}$

Paso 4.4

Reordena los factores en $2 e^{- x} x - 4 e^{- x}$ .

$2 x e^{- x} - 4 e^{- x}$