Cálculo Ejemplos

$y = \ln (2 t^{4} e^{- t})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = 2 t^{4} e^{- t}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 t^{4} e^{- t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 t^{4} e^{- t}$ .

$\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t^{4} e^{- t}$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$ .

$\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}} (2 \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}])$

Paso 2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}}$ .

$\frac{2}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

Paso 2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t^{4}$ y $g (t) = e^{- t}$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = - t$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- t$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- t$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Paso 5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Paso 5.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- t}$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Paso 5.3.3

Reescribe $- 1 e^{- t}$ como $- e^{- t}$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t}) + e^{- t} (4 t^{3}))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t})) + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Paso 6.2

Combina los términos.

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Paso 6.2.1

Combina $t^{4}$ y $\frac{1}{t^{4} e^{- t}}$ .

$\frac{t^{4}}{t^{4} e^{- t}} (- e^{- t}) + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Paso 6.2.2

Combina $\frac{t^{4}}{t^{4} e^{- t}}$ y $e^{- t}$ .

$- \frac{t^{4} e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $t^{4}$ .

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{t^{4} e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Paso 6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Paso 6.2.4

Cancela el factor común de $e^{- t}$ .

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Paso 6.2.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Paso 6.2.4.2

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Paso 6.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Paso 6.2.6

Combina $e^{- t}$ y $\frac{1}{t^{4} e^{- t}}$ .

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} (4 t^{3})$

Paso 6.2.7

Combina $4$ y $\frac{e^{- t}}{t^{4} e^{- t}}$ .

$- 1 + \frac{4 e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} t^{3}$

Paso 6.2.8

Combina $\frac{4 e^{- t}}{t^{4} e^{- t}}$ y $t^{3}$ .

$- 1 + \frac{4 e^{- t} t^{3}}{t^{4} e^{- t}}$

Paso 6.2.9

Cancela el factor común de $e^{- t}$ .

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Paso 6.2.9.1

Cancela el factor común.

$- 1 + \frac{4 e^{- t} t^{3}}{t^{4} e^{- t}}$

Paso 6.2.9.2

Reescribe la expresión.

$- 1 + \frac{4 t^{3}}{t^{4}}$

Paso 6.2.10

Cancela el factor común de $t^{3}$ y $t^{4}$ .

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Paso 6.2.10.1

Factoriza $t^{3}$ de $4 t^{3}$ .

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{4}}$

Paso 6.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.10.2.1

Factoriza $t^{3}$ de $t^{4}$ .

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{3} t}$

Paso 6.2.10.2.2

Cancela el factor común.

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{3} t}$

Paso 6.2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$- 1 + \frac{4}{t}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$\frac{4}{t} - 1$