Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x}{{(1 + 4 x)}^{2}} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}}$

Paso 1.1.2

$\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{B}{1 + 4 x}$

Paso 1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

$\frac{x {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Paso 1.1.4

Cancela el factor común de ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

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Paso 1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Paso 1.1.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Paso 1.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común de ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

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Paso 1.1.5.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{A {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Paso 1.1.5.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$x = A + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Paso 1.1.5.2

Cancela el factor común de ${(1 + 4 x)}^{2}$ y $1 + 4 x$ .

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Paso 1.1.5.2.1

Factoriza $1 + 4 x$ de $(B) {(1 + 4 x)}^{2}$ .

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{1 + 4 x}$

Paso 1.1.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.5.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{(1 + 4 x) \cdot 1}$

Paso 1.1.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{(1 + 4 x) \cdot 1}$

Paso 1.1.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = A + \frac{B (1 + 4 x)}{1}$

Paso 1.1.5.2.2.4

Divide $B (1 + 4 x)$ por $1$ .

$x = A + B (1 + 4 x)$

Paso 1.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = A + B \cdot 1 + B (4 x)$

Paso 1.1.5.4

Multiplica $B$ por $1$ .

$x = A + B + B (4 x)$

Paso 1.1.5.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = A + B + 4 B x$

Paso 1.1.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.6.1

Mueve $B$ .

$x = A + B + 4 x B$

Paso 1.1.6.2

Mueve $B$ .

$x = A + 4 x B + B$

Paso 1.1.6.3

Reordena $A$ y $4 x B$ .

$x = 4 x B + A + B$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 4 B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = 4 B$

$0 = A + B$

$1 = 4 B$

$0 = A + B$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $B$ en $1 = 4 B$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $4 B = 1$ .

$4 B = 1$

$0 = A + B$

Paso 1.3.1.2

Divide cada término en $4 B = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.3.1.2.1

Divide cada término en $4 B = 1$ por $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Paso 1.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Paso 1.3.1.2.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{1}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $0 = A + B$ por $\frac{1}{4}$ .

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.3

Resuelve $A$ en $0 = A + \frac{1}{4}$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $A + \frac{1}{4} = 0$ .

$A + \frac{1}{4} = 0$

$B = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.3.2

Resta $\frac{1}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$A = - \frac{1}{4} B = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - \frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{B}{1 + 4 x}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Paso 1.5.3

Mueve $4$ a la izquierda de ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

$- \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Paso 1.5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + 4 x}$

Paso 1.5.5

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{1 + 4 x}$ .

$\int - \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}} d x) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Paso 5

Sea $u_{1} = 1 + 4 x$ . Entonces $d u_{1} = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{1} = 1 + 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $1 + 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x]$

Paso 5.1.2

Diferencia.

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Paso 5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 5.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 4 \cdot 1$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$0 + 4$

Paso 5.1.4

Suma $0$ y $4$ .

$4$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2} \cdot 4} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Paso 6.2

Mueve $4$ a la izquierda de ${u_{1}}^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 {u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Paso 8.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$- \frac{1}{16} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Paso 8.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 8.2.1

Mueve ${u_{1}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{1}{16} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Paso 8.2.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 8.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{16} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Paso 8.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{16} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{- 2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + 4 x} d x$

Paso 11

Sea $u_{2} = 1 + 4 x$ . Entonces $d u_{2} = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 11.1

Deja $u_{2} = 1 + 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $1 + 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x]$

Paso 11.1.2

Diferencia.

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Paso 11.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 11.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 11.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 11.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 4 \cdot 1$

Paso 11.1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$0 + 4$

Paso 11.1.4

Suma $0$ y $4$ .

$4$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{2}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

Paso 12.2

Mueve $4$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 14.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 15

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{16} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Simplifica.

$- \frac{1}{16} (- \frac{1}{u_{1}}) + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 16.2

Simplifica.

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Paso 16.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{16}) \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 16.2.2

Multiplica $\frac{1}{16}$ por $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 16.2.3

Multiplica $\frac{1}{16}$ por $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{16 u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 17

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 17.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + 4 x$ .

$\frac{1}{16 (1 + 4 x)} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 17.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + 4 x$ .

$\frac{1}{16 (1 + 4 x)} + \frac{1}{16} \ln (| 1 + 4 x |) + C$