Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (3 x)}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{2} (3 x)} d x$

Paso 3

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (3 x)}$ a $\sec^{2} (3 x)$ .

$\int \sec^{2} (3 x) d x$

Paso 4

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 4.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \sec^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

Paso 5

Combina $\sec^{2} (u)$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u)}{3} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \sec^{2} (u) d u$

Paso 7

Como la derivada de $\tan (u)$ es $\sec^{2} (u)$ , la integral de $\sec^{2} (u)$ es $\tan (u)$ .

$\frac{1}{3} (\tan (u) + C)$

Paso 8

Simplifica.

$\frac{1}{3} \tan (u) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$\frac{1}{3} \tan (3 x) + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (3 x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \tan (3 x) + C$