Cálculo Ejemplos

$\frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$

Paso 1

Escribe $\frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$ como una función.

$f (x) = \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}} d x$

Paso 4

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int \frac{1}{{(2 - 8 x)}^{3}} d x$

Paso 5

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 5.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 5.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 5.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 - 8 x$ .

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Paso 5.1.1.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{{(2 (1) - 8 x)}^{3}}$

Paso 5.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 8 x$ .

$\frac{1}{{(2 (1) + 2 (- 4 x))}^{3}}$

Paso 5.1.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- 4 x)$ .

$\frac{1}{{(2 (1 - 4 x))}^{3}}$

Paso 5.1.1.2

Aplica la regla del producto a $2 (1 - 4 x)$ .

$\frac{1}{2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}}$

Paso 5.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}}$

Paso 5.1.3

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Paso 5.1.4

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{C}{1 - 4 x}$

Paso 5.1.5

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}$ .

$\frac{1 (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Paso 5.1.6

Cancela el factor común de $2^{3}$ .

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Paso 5.1.6.1

Cancela el factor común.

Paso 5.1.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 ({(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Paso 5.1.7

Cancela el factor común de ${(1 - 4 x)}^{3}$ .

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Paso 5.1.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 {(1 - 4 x)}^{3}}{{(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Paso 5.1.7.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Paso 5.1.8

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.8.1

Cancela el factor común de ${(1 - 4 x)}^{3}$ .

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Paso 5.1.8.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Paso 5.1.8.1.2

Divide $(A) \cdot (2^{3})$ por $1$ .

$1 = (A) \cdot (2^{3}) + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Paso 5.1.8.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$1 = A \cdot 8 + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Paso 5.1.8.3

Mueve $8$ a la izquierda de $A$ .

$1 = 8 \cdot A + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Paso 5.1.8.4

Cancela el factor común de ${(1 - 4 x)}^{3}$ y ${(1 - 4 x)}^{2}$ .

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Paso 5.1.8.4.1

Factoriza ${(1 - 4 x)}^{2}$ de $(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})$ .

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Paso 5.1.8.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.8.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Paso 5.1.8.4.2.2

Cancela el factor común.

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Paso 5.1.8.4.2.3

Reescribe la expresión.

$1 = 8 A + \frac{B (2^{3} (1 - 4 x))}{1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Paso 5.1.8.4.2.4

Divide $B (2^{3} (1 - 4 x))$ por $1$ .

$1 = 8 A + B (2^{3} (1 - 4 x)) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Paso 5.1.8.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 8 A + 2^{3} B (1 - 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Paso 5.1.8.6

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$1 = 8 A + 8 B (1 - 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Paso 5.1.8.7

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = 8 A + 8 B \cdot 1 + 8 B (- 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Paso 5.1.8.8

Multiplica $8$ por $1$ .

$1 = 8 A + 8 B + 8 B (- 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Paso 5.1.8.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 8 A + 8 B + 8 \cdot (- 4 B x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Paso 5.1.8.10

Multiplica $8$ por $- 4$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Paso 5.1.8.11

Cancela el factor común de ${(1 - 4 x)}^{3}$ y $1 - 4 x$ .

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Paso 5.1.8.11.1

Factoriza $1 - 4 x$ de $(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{1 - 4 x}$

Paso 5.1.8.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.8.11.2.1

Multiplica por $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{(1 - 4 x) \cdot 1}$

Paso 5.1.8.11.2.2

Cancela el factor común.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{(1 - 4 x) \cdot 1}$

Paso 5.1.8.11.2.3

Reescribe la expresión.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})}{1}$

Paso 5.1.8.11.2.4

Divide $C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})$ por $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})$

Paso 5.1.8.12

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 2^{3} C {(1 - 4 x)}^{2}$

Paso 5.1.8.13

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C {(1 - 4 x)}^{2}$

Paso 5.1.8.14

Reescribe ${(1 - 4 x)}^{2}$ como $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C ((1 - 4 x) (1 - 4 x))$

Paso 5.1.8.15

Expande $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.8.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 (1 - 4 x) - 4 x (1 - 4 x))$

Paso 5.1.8.15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 \cdot 1 + 1 (- 4 x) - 4 x (1 - 4 x))$

Paso 5.1.8.15.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 \cdot 1 + 1 (- 4 x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

Paso 5.1.8.16

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.1.8.16.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.8.16.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 + 1 (- 4 x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

Paso 5.1.8.16.1.2

Multiplica $- 4 x$ por $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

Paso 5.1.8.16.1.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 x (- 4 x))$

Paso 5.1.8.16.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 x \cdot x))$

Paso 5.1.8.16.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.8.16.1.5.1

Mueve $x$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 (x \cdot x)))$

Paso 5.1.8.16.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 x^{2}))$

Paso 5.1.8.16.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x + 16 x^{2})$

Paso 5.1.8.16.2

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 8 x + 16 x^{2})$

Paso 5.1.8.17

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C \cdot 1 + 8 C (- 8 x) + 8 C (16 x^{2})$

Paso 5.1.8.18

Simplifica.

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Paso 5.1.8.18.1

Multiplica $8$ por $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 C (- 8 x) + 8 C (16 x^{2})$

Paso 5.1.8.18.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 \cdot (- 8 C x) + 8 C (16 x^{2})$

Paso 5.1.8.18.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 \cdot (- 8 C x) + 8 \cdot (16 C x^{2})$

Paso 5.1.8.19

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.8.19.1

Multiplica $8$ por $- 8$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C - 64 C x + 8 \cdot (16 C x^{2})$

Paso 5.1.8.19.2

Multiplica $8$ por $16$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C - 64 C x + 128 C x^{2}$

Paso 5.1.9

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.9.1

Mueve $B$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 x B + 8 C - 64 C x + 128 C x^{2}$

Paso 5.1.9.2

Mueve $8 C$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 C$

Paso 5.1.9.3

Mueve $8 B$ .

$1 = 8 A - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 B + 8 C$

Paso 5.1.9.4

Mueve $8 A$ .

$1 = - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 A + 8 B + 8 C$

Paso 5.1.9.5

Mueve $- 64 C x$ .

$1 = - 32 x B + 128 C x^{2} - 64 C x + 8 A + 8 B + 8 C$

Paso 5.1.9.6

Reordena $- 32 x B$ y $128 C x^{2}$ .

$1 = 128 C x^{2} - 32 x B - 64 C x + 8 A + 8 B + 8 C$

Paso 5.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 5.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = 128 C$

Paso 5.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 32 B - 64 C$

Paso 5.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Paso 5.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = 128 C$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = 128 C$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Paso 5.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 5.3.1

Resuelve $C$ en $0 = 128 C$ .

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Paso 5.3.1.1

Reescribe la ecuación como $128 C = 0$ .

$128 C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Paso 5.3.1.2

Divide cada término en $128 C = 0$ por $128$ y simplifica.

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Paso 5.3.1.2.1

Divide cada término en $128 C = 0$ por $128$ .

$\frac{128 C}{128} = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Paso 5.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $128$ .

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Paso 5.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{128 C}{128} = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Paso 5.3.1.2.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Paso 5.3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1.2.3.1

Divide $0$ por $128$ .

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Paso 5.3.2

Reemplaza todos los casos de $C$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 5.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $0 = - 32 B - 64 C$ por $0$ .

$0 = - 32 B - 64 \cdot 0$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.2.1

Simplifica $- 32 B - 64 \cdot 0$ .

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Paso 5.3.2.2.1.1

Multiplica $- 64$ por $0$ .

$0 = - 32 B + 0$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Paso 5.3.2.2.1.2

Suma $- 32 B$ y $0$ .

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Paso 5.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $C$ en $1 = 8 A + 8 B + 8 C$ por $0$ .

$1 = 8 A + 8 B + 8 (0)$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

Paso 5.3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.4.1

Simplifica $8 A + 8 B + 8 (0)$ .

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Paso 5.3.2.4.1.1

Multiplica $8$ por $0$ .

$1 = 8 A + 8 B + 0$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

Paso 5.3.2.4.1.2

Suma $8 A + 8 B$ y $0$ .

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

Paso 5.3.3

Resuelve $B$ en $0 = - 32 B$ .

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Paso 5.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 32 B = 0$ .

$- 32 B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Paso 5.3.3.2

Divide cada término en $- 32 B = 0$ por $- 32$ y simplifica.

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Paso 5.3.3.2.1

Divide cada término en $- 32 B = 0$ por $- 32$ .

$\frac{- 32 B}{- 32} = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Paso 5.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 32$ .

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Paso 5.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 32 B}{- 32} = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Paso 5.3.3.2.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Paso 5.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.2.3.1

Divide $0$ por $- 32$ .

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Paso 5.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 5.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $1 = 8 A + 8 B$ por $0$ .

$1 = 8 A + 8 (0)$

$B = 0$

$C = 0$

Paso 5.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.4.2.1

Simplifica $8 A + 8 (0)$ .

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Paso 5.3.4.2.1.1

Multiplica $8$ por $0$ .

$1 = 8 A + 0$

$B = 0$

$C = 0$

Paso 5.3.4.2.1.2

Suma $8 A$ y $0$ .

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

Paso 5.3.5

Resuelve $A$ en $1 = 8 A$ .

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Paso 5.3.5.1

Reescribe la ecuación como $8 A = 1$ .

$8 A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Paso 5.3.5.2

Divide cada término en $8 A = 1$ por $8$ y simplifica.

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Paso 5.3.5.2.1

Divide cada término en $8 A = 1$ por $8$ .

$\frac{8 A}{8} = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

Paso 5.3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 A}{8} = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

Paso 5.3.5.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

Paso 5.3.6

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$A = \frac{1}{8} B = 0 C = 0$

Paso 5.3.7

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{1}{8}, B = 0, C = 0$

Paso 5.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{C}{1 - 4 x}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{\frac{1}{8}}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Paso 5.5.2

Combinar.

$\frac{1 \cdot 1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Paso 5.5.3

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Paso 5.5.4

Divide $0$ por ${(1 - 4 x)}^{2}$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + 0 + \frac{0}{1 - 4 x}$

Paso 5.5.5

Divide $0$ por $1 - 4 x$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + 0 + 0$

Paso 5.5.6

Elimina el cero de la expresión.

$5 \int \frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$5 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} d x)$

Paso 7

Combina $\frac{1}{8}$ y $5$ .

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} d x$

Paso 8

Sea $u = 1 - 4 x$ . Entonces $d u = - 4 d x$ , de modo que $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = 1 - 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $1 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x]$

Paso 8.1.2

Diferencia.

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Paso 8.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 8.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 8.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 8.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Paso 8.1.3.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$0 - 4$

Paso 8.1.4

Resta $4$ de $0$ .

$- 4$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{u^{3}} (- \frac{1}{4}) d u$

Paso 9.2

Multiplica $\frac{1}{u^{3}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{8} \int - \frac{1}{u^{3} \cdot 4} d u$

Paso 9.3

Mueve $4$ a la izquierda de $u^{3}$ .

$\frac{5}{8} \int - \frac{1}{4 u^{3}} d u$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{5}{8} (- \int \frac{1}{4 u^{3}} d u)$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{5}{8} (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u))$

Paso 12

Simplifica la expresión.

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Paso 12.1

Simplifica.

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Paso 12.1.1

Multiplica $\frac{5}{8}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{5}{8 \cdot 4} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 12.1.2

Multiplica $8$ por $4$ .

$- \frac{5}{32} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 12.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 12.2.1

Mueve $u^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{5}{32} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Paso 12.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 12.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{32} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Paso 12.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \frac{5}{32} \int u^{- 3} d u$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 3}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Reescribe $- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ como $- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Paso 14.2

Simplifica.

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Paso 14.2.1

Multiplica $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Paso 14.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Paso 14.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{5}{32}) \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Paso 14.2.4

Multiplica $\frac{5}{32}$ por $1$ .

$\frac{5}{32} \cdot \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Paso 14.2.5

Multiplica $\frac{5}{32}$ por $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$\frac{5}{32 (2 u^{2})} + C$

Paso 14.2.6

Multiplica $2$ por $32$ .

$\frac{5}{64 u^{2}} + C$

Paso 15

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 4 x$ .

$\frac{5}{64 {(1 - 4 x)}^{2}} + C$

Paso 16

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{64 {(1 - 4 x)}^{2}} + C$