Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Paso 4

Sea $x = \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ es positiva.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Simplifica $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

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Paso 5.1.1

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 5.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 5.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $\sec (t)$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $\sec (t)$ de $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 5.2.1.2

Factoriza $\sec (t)$ de $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Paso 5.2.1.3

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Paso 5.2.1.4

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{\tan (t)} \sec (t) d t$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{1}{\tan (t)}$ y $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Paso 5.2.3

Simplifica.

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Paso 5.2.3.1

Reescribe $\tan (t)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Paso 5.2.3.2

Reescribe $\sec (t)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Paso 5.2.3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Paso 5.2.3.4

Cancela el factor común de $\cos (t)$ .

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Paso 5.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Paso 5.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Paso 5.2.3.5

Convierte de $\frac{1}{\sin (t)}$ a $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) d t$

Paso 6

La integral de $\csc (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$

Paso 8

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$