Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{9 x^{2} + 4 x^{5}}{- 7 x^{2}}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{1}{- 7}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{9 x^{2} + 4 x^{5}}{x^{2}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 9 x^{2} + 4 x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 9 x^{2} + lim_{x \to 0} 4 x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 4 x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 4 x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.4

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 0} x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.5

Mueve el exponente $5$ de $x^{5}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 \cdot 0^{2} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.7.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 \cdot 0 + 4 \cdot 0^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.7.1.2

Multiplica $9$ por $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0 + 4 \cdot 0^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.7.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.7.1.4

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.7.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Paso 2.1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{9 x^{2} + 4 x^{5}}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{2} + 4 x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.3.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{9 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.3.3

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{18 x + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ .

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Paso 2.3.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{5}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{18 x + 4 \frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{18 x + 4 \cdot 5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.4.3

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{18 x + 20 x^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.5

Reordena los términos.

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{20 x^{4} + 18 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{20 x^{4} + 18 x}{2 x}$

Paso 3

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{20 x^{4} + 18 x}{x}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 20 x^{4} + 18 x}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 4.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 20 x^{4} + lim_{x \to 0} 18 x}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.2

Mueve el término $20$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 18 x}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.3

Mueve el exponente $4$ de $x^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 18 x}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.4

Mueve el término $18$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 18 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 \cdot 0^{4} + 18 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 \cdot 0^{4} + 18 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.6.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 \cdot 0 + 18 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.6.1.2

Multiplica $20$ por $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 18 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.6.1.3

Multiplica $18$ por $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Paso 4.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Paso 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{20 x^{4} + 18 x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [20 x^{4} + 18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [20 x^{4} + 18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $20 x^{4} + 18 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [20 x^{4}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [20 x^{4}] + \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [20 x^{4}]$ .

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Paso 4.3.3.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x^{4}$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{20 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{20 \cdot 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.3.3

Multiplica $4$ por $20$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

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Paso 4.3.4.1

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18 x$ con respecto a $x$ es $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + 18 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + 18 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.4.3

Multiplica $18$ por $1$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + 18}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + 18}{1}$

Paso 4.4

Divide $80 x^{3} + 18$ por $1$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} 80 x^{3} + 18$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 80 x^{3} + lim_{x \to 0} 18)$

Paso 5.2

Mueve el término $80$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (80 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 18)$

Paso 5.3

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (80 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 18)$

Paso 5.4

Evalúa el límite de $18$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (80 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 18)$

Paso 6

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (80 \cdot 0^{3} + 18)$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} (80 \cdot 0^{3} + 18)$

Paso 7.2

Multiplica $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 7} (80 \cdot 0^{3} + 18)$

Paso 7.2.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$- \frac{1}{14} (80 \cdot 0^{3} + 18)$

Paso 7.3

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{1}{14} (80 \cdot 0 + 18)$

Paso 7.3.2

Multiplica $80$ por $0$ .

$- \frac{1}{14} (0 + 18)$

Paso 7.4

Suma $0$ y $18$ .

$- \frac{1}{14} \cdot 18$

Paso 7.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{14}$ al numerador.

$\frac{- 1}{14} \cdot 18$

Paso 7.5.2

Factoriza $2$ de $14$ .

$\frac{- 1}{2 (7)} \cdot 18$

Paso 7.5.3

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot 9)$

Paso 7.5.4

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot 9)$

Paso 7.5.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{7} \cdot 9$

Paso 7.6

Combina $\frac{- 1}{7}$ y $9$ .

$\frac{- 1 \cdot 9}{7}$

Paso 7.7

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{- 9}{7}$

Paso 7.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9}{7}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{9}{7}$

Forma decimal:

$- 1.\overline{285714}$