Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 6} \frac{2 \sqrt{6} \sqrt{x} - 12}{x - 6}$

Paso 1

Combina con la regla del producto para radicales.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \sqrt{x \cdot 6} - 12}{x - 6}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 6} 2 \sqrt{x \cdot 6} - 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $6$ .

$\frac{lim_{x \to 6} 2 \sqrt{x \cdot 6} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 6} \sqrt{x \cdot 6} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Paso 2.1.2.1.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{2 \sqrt{lim_{x \to 6} x \cdot 6} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Paso 2.1.2.1.4

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 \sqrt{6 lim_{x \to 6} x} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Paso 2.1.2.1.5

Evalúa el límite de $12$ que es constante cuando $x$ se acerca a $6$ .

$\frac{2 \sqrt{6 lim_{x \to 6} x} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $6$ para $x$ .

$\frac{2 \sqrt{6 \cdot 6} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{2 \sqrt{36} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{6^{2}} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Paso 2.1.2.3.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2 \cdot 6 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Paso 2.1.2.3.1.4

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{12 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Paso 2.1.2.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $12$ de $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6}$

Paso 2.1.3.1.2

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $6$ para $x$ .

$\frac{0}{6 - 1 \cdot 6}$

Paso 2.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{0}{6 - 6}$

Paso 2.1.3.3.2

Resta $6$ de $6$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \sqrt{x \cdot 6} - 12}{x - 6} = lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6} - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6} - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \sqrt{x \cdot 6} - 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6}]$ .

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Paso 2.3.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{6 \cdot x}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6 x}$ como ${(6 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 {(6 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.3.3

Factoriza $6$ de $6 x$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 {(6 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.3.4

Aplica la regla del producto a $6 (x)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 (6^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.3.5

Como $2 \cdot 6^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.3.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.3.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.3.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.3.12

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.3.13

Combina $2$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{6^{\frac{1}{2}} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.3.14

Combina $6^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}} (2 x^{- \frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.3.15

Mueve $2$ a la izquierda de $6^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.3.16

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.3.17

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.3.18

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.4

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.5

Suma $\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 2.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Paso 2.3.8

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Paso 2.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 6} \frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 2.5

Convierte los exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 2.5.1

Reescribe $6^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{6}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{6}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 2.5.2

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}} \cdot 1$

Paso 2.6

Multiplica $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $\sqrt{6}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sqrt{6} lim_{x \to 6} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $6$ .

$\sqrt{6} \frac{lim_{x \to 6} 1}{lim_{x \to 6} \sqrt{x}}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $6$ .

$\sqrt{6} \frac{1}{lim_{x \to 6} \sqrt{x}}$

Paso 3.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 6} x}}$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $6$ para $x$ .

$\sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{6}}$

Paso 5

Cancela el factor común de $\sqrt{6}$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{6}}$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$1$