Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x + 1}} d x$

Paso 1

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 1.3

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 1.5

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{2} \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Expande $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{1}^{2} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int_{1}^{2} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{1}^{2} u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3.6

Resta $1$ de $2$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 4

Reescribe $- 1 u^{- \frac{1}{2}}$ como $- u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} - u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{2} - u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2})$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $2$ y en $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2})$

Paso 9.2

Evalúa $2 u^{\frac{1}{2}}$ en $2$ y en $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.2

Multiplica $2$ por $2^{\frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.3.2.1

Multiplica $2$ por $2^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 9.3.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.2.4

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.6

Multiplica $2$ por $2^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.3.6.1

Multiplica $2$ por $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 9.3.6.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.6.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.6.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.6.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1)$

Paso 9.3.8

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2)$

Paso 9.3.9

Para escribir $- (2^{\frac{3}{2}} - 2)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot \frac{3}{3}$

Paso 9.3.10

Combina $- (2^{\frac{3}{2}} - 2)$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} + \frac{- (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot 3}{3}$

Paso 9.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot 3}{3}$

Paso 9.3.12

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - 3 (2^{\frac{3}{2}} - 2)}{3}$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - 3 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 3 \cdot - 2}{3}$

Paso 10.2

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - 3 \cdot 2^{\frac{3}{2}} + 6}{3}$

Paso 10.3

Suma $- 2$ y $6$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} + 4 - 3 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2^{\frac{5}{2}} + 4 - 3 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}$

Forma decimal:

$0.39052429 \dots$

Paso 12