Cálculo Ejemplos

${(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{4}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(x - 2)}^{3}$ y $g (x) = {(x + 1)}^{4}$ .

${(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{4}] + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x + 1$ .

${(x - 2)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

${(x - 2)}^{3} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 1$ .

${(x - 2)}^{3} (4 {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Mueve $4$ a la izquierda de ${(x - 2)}^{3}$ .

$4 \cdot {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

Paso 3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} (1 + 0) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

Paso 3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} \cdot 1 + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

Paso 3.5.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x - 2$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x - 2$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + {(x + 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + {(x + 1)}^{4} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 2$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + {(x + 1)}^{4} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Mueve $3$ a la izquierda de ${(x + 1)}^{4}$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 \cdot {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 5.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2} (1 + 0)$

Paso 5.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2} \cdot 1$

Paso 5.5.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Factoriza ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3}$ de $4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3}$ de $4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3}$ .

${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (4 (x - 2)) + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2}$

Paso 6.1.2

Factoriza ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3}$ de $3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2}$ .

${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (4 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (3 (x + 1))$

Paso 6.1.3

Factoriza ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3}$ de ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (4 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (3 (x + 1))$ .

${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (4 (x - 2) + 3 (x + 1))$

Paso 6.2

Reordena los factores de ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (4 (x - 2) + 3 (x + 1))$ .

${(x + 1)}^{3} {(x - 2)}^{2} (4 (x - 2) + 3 (x + 1))$