Cálculo Ejemplos

$y = \sec (x) + \tan (x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sec (x) + \tan (x))$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sec (x) + \tan (x)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\sec (x)] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sec (x)] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [\sec (x)]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \sec (y)$ y $g (y) = x$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Paso 3.2.1.2

La derivada de $\sec (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x$ .

$\sec (x) \tan (x) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\tan (x)]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \tan (y)$ y $g (y) = x$ .

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Paso 3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.3.1.2

La derivada de $\tan (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = \sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x' = 1$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x' = 1$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Reordena los factores en $\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x'$ .

$x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec^{2} (x) = 1$

Paso 5.3

Factoriza $x' \sec (x)$ de $x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec^{2} (x)$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $x' \sec (x)$ de $x' \sec^{2} (x)$ .

$x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec (x) \sec (x) = 1$

Paso 5.3.2

Factoriza $x' \sec (x)$ de $x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec (x) \sec (x)$ .

$x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) = 1$

Paso 5.4

Divide cada término en $x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) = 1$ por $\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) = 1$ por $\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))$ .

$\frac{x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $\sec (x)$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' (\tan (x) + \sec (x))}{\tan (x) + \sec (x)} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $\tan (x) + \sec (x)$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (\tan (x) + \sec (x))}{\tan (x) + \sec (x)} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Separa las fracciones.

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Paso 5.4.3.2

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Paso 5.4.3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} (1 \cos (x))$

Paso 5.4.3.4

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} \cos (x)$

Paso 5.4.3.5

Combina $\frac{1}{\tan (x) + \sec (x)}$ y $\cos (x)$ .

$x' = \frac{\cos (x)}{\tan (x) + \sec (x)}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\cos (x)}{\tan (x) + \sec (x)}$