Cálculo Ejemplos

$f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3} & x \neq - 3 \\ 9 & x = - 3 \end{cases}$

Paso 1

Obtén el límite de $\frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3}$ a medida que $x$ se acerca a $- 3$ .

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Paso 1.1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + 6 x + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Paso 1.1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Paso 1.1.1.2.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Paso 1.1.1.2.3

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Paso 1.1.1.2.4

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Paso 1.1.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Paso 1.1.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Paso 1.1.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.2.6.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{9 + 6 \cdot - 3 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Paso 1.1.1.2.6.1.2

Multiplica $6$ por $- 3$ .

$\frac{9 - 18 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Paso 1.1.1.2.6.2

Resta $18$ de $9$ .

$\frac{- 9 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Paso 1.1.1.2.6.3

Suma $- 9$ y $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Paso 1.1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3}$

Paso 1.1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Paso 1.1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$\frac{0}{- 3 + 3}$

Paso 1.1.1.3.3

Suma $- 3$ y $3$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Paso 1.1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Paso 1.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 6 x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Paso 1.1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 1.1.3.4.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Paso 1.1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Paso 1.1.3.4.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Paso 1.1.3.5

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Paso 1.1.3.6

Suma $2 x + 6$ y $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Paso 1.1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}$

Paso 1.1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{1 + \frac{d}{d x} [3]}$

Paso 1.1.3.9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{1 + 0}$

Paso 1.1.3.10

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{1}$

Paso 1.1.4

Divide $2 x + 6$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} 2 x + 6$

Paso 1.2

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6$

Paso 1.2.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6$

Paso 1.2.3

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$2 lim_{x \to - 3} x + 6$

Paso 1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$2 \cdot - 3 + 6$

Paso 1.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.4.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$- 6 + 6$

Paso 1.4.2

Suma $- 6$ y $6$ .

$0$

Paso 2

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$9$

Paso 3

Como el límite de $\frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3}$ a medida que $x$ se acerca a $- 3$ no es igual al valor de la función en $x = - 3$ , la función no es continua en $x = - 3$ .

No es continua

Paso 4