Cálculo Ejemplos

$\frac{2 x}{\sqrt{5 - 3 x^{2}}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 - 3 x^{2}}$ como ${(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${({(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 - 3 x^{2})}^{1}}$

Paso 4

Simplifica.

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 5.2

Multiplica ${(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 5 - 3 x^{2}$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 - 3 x^{2}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 - 3 x^{2}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 10.2

Resta $2$ de $1$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 11

Combina fracciones.

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Paso 11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(5 - 3 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(5 - 3 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 11.3

Mueve ${(5 - 3 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 11.4

Combina $\frac{1}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}]}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 12

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 13

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 14

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 15

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 16

Combina fracciones.

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Paso 16.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 3 \frac{x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 16.2

Combina $3$ y $\frac{x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 18

Combina fracciones.

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Paso 18.1

Combina $2$ y $\frac{3 x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (3 x)}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 18.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{6 x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 18.3

Combina $\frac{6 x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{6 x \cdot x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 19

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{6 (x^{1} x)}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 20

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{6 (x^{1} x^{1})}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 21

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{6 x^{1 + 1}}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 22

Suma $1$ y $1$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{6 x^{2}}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 23

Factoriza $2$ de $6 x^{2}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (3 x^{2})}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 24

Cancela los factores comunes.

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Paso 24.1

Factoriza $2$ de $2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (3 x^{2})}{2 ({(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 24.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (3 x^{2})}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 24.3

Reescribe la expresión.

$2 \frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{2}}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 25

Para escribir ${(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 \frac{\frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{2}}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 26

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{\frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 3 x^{2}}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 27

Multiplica ${(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 27.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \frac{\frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 3 x^{2}}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 27.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{\frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + 3 x^{2}}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 27.3

Suma $1$ y $1$ .

$2 \frac{\frac{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 3 x^{2}}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 27.4

Divide $2$ por $2$ .

$2 \frac{\frac{{(5 - 3 x^{2})}^{1} + 3 x^{2}}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 28

Simplifica ${(5 - 3 x^{2})}^{1}$ .

$2 \frac{\frac{5 - 3 x^{2} + 3 x^{2}}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 29

Suma $- 3 x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$2 \frac{\frac{5 + 0}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 30

Suma $5$ y $0$ .

$2 \frac{\frac{5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$

Paso 31

Reescribe $\frac{\frac{5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{5 - 3 x^{2}}$ como un producto.

$2 (\frac{5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{5 - 3 x^{2}})$

Paso 32

Multiplica $\frac{5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{5 - 3 x^{2}}$ .

$2 \frac{5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (5 - 3 x^{2})}$

Paso 33

Multiplica ${(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $5 - 3 x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 33.1

Multiplica ${(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $5 - 3 x^{2}$ .

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Paso 33.1.1

Eleva $5 - 3 x^{2}$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(5 - 3 x^{2})}^{1}}$

Paso 33.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \frac{5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 33.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$2 \frac{5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 33.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 33.4

Suma $1$ y $2$ .

$2 \frac{5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 34

Combina $2$ y $\frac{5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 35

Simplifica la expresión.

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Paso 35.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{10}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 35.2

Reordena los términos.

$\frac{10}{{(- 3 x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$