Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) e^{\sin (2 x)} d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \sin (2 x)$ . Entonces $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \sin (2 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Paso 1.1.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{lower} = \sin (2 \cdot 0)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Paso 1.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{4})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Paso 1.5.1.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Paso 1.5.1.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Paso 1.5.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{1} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 2

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{1}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $e^{u_{2}}$ en $1$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{1}) - e^{0})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Simplifica.

$\frac{1}{2} (e - e^{0})$

Paso 5.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{2} (e - 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (e - 1)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} e + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $e$ .

$\frac{e}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Paso 6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{e}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.85914091 \dots$