Cálculo Ejemplos

$y = \frac{3}{\sin (x) + \cos (x)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3}{\sin (x) + \cos (x)})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{\sin (x) + \cos (x)}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$

Paso 3.1.2

Reescribe $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ como ${(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x) + \cos (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x) + \cos (x)$ .

$3 (- {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 3.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 ({(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 3 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- 3 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3.5

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- 3 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 3.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Combina los términos.

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Paso 3.7.1.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 3.7.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 3.7.2

Reordena los factores de $- \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$ .

$- (\cos (x) - \sin (x)) \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - (\cos (x) - \sin (x)) \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\cos (x) - \sin (x)) \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$