Cálculo Ejemplos

$y = 5 x \sqrt{x^{2} + 1}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.8

Combina fracciones.

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Paso 4.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 (x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.8.3

Mueve ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.12

Combina fracciones.

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Paso 4.12.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.12.2

Combina $2$ y $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 (\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.12.3

Combina $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$5 (\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.13

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 (\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.14

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 (\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.16

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.16.1

Suma $1$ y $1$ .

$5 (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.16.2

Cancela el factor común.

$5 (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.16.3

Reescribe la expresión.

$5 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Paso 4.18

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$5 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.19

Para escribir ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.21

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.21.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.21.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.21.3

Suma $1$ y $1$ .

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.21.4

Divide $2$ por $2$ .

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.22

Simplifica ${(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$5 \frac{x^{2} + x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.23

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$5 \frac{2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.24

Combina $5$ y $\frac{2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 (2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{5 (2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$