Cálculo Ejemplos

$x^{4} + \sin (y) = x^{3} y^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{4} + \sin (y)) = \frac{d}{d x} (x^{3} y^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + \sin (y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$4 x^{3} + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$4 x^{3} + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 x^{3} + \cos (y) y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x^{3} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})$

Paso 3.6

Reordena.

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Paso 3.6.1

Mueve $3$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 \cdot y^{2} x^{2}$

Paso 3.6.2

Reordena los términos.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$4 x^{3} + \cos (y) y' = 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $4 x^{3} + \cos (y) y'$ .

$4 x^{3} + y' \cos (y) = 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

Paso 5.2

Resta $2 x^{3} y y'$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} + y' \cos (y) - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2}$

Paso 5.3

Resta $4 x^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$y' \cos (y) - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

Paso 5.4

Factoriza $y'$ de $y' \cos (y) - 2 x^{3} y y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $y'$ de $y' \cos (y)$ .

$y' (\cos (y)) - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

Paso 5.4.2

Factoriza $y'$ de $- 2 x^{3} y y'$ .

$y' (\cos (y)) + y' (- 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

Paso 5.4.3

Factoriza $y'$ de $y' (\cos (y)) + y' (- 2 x^{3} y)$ .

$y' (\cos (y) - 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

Paso 5.5

Divide cada término en $y' (\cos (y) - 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$ por $\cos (y) - 2 x^{3} y$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $y' (\cos (y) - 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$ por $\cos (y) - 2 x^{3} y$ .

$\frac{y' (\cos (y) - 2 x^{3} y)}{\cos (y) - 2 x^{3} y} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} + \frac{- 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $\cos (y) - 2 x^{3} y$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (\cos (y) - 2 x^{3} y)}{\cos (y) - 2 x^{3} y} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} + \frac{- 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} + \frac{- 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} - \frac{4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Paso 5.5.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Paso 5.5.3.3

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$ .

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Paso 5.5.3.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{x^{2} (3 y^{2}) - 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Paso 5.5.3.3.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{x^{2} (3 y^{2}) + x^{2} (- 4 x)}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Paso 5.5.3.3.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (3 y^{2}) + x^{2} (- 4 x)$ .

$y' = \frac{x^{2} (3 y^{2} - 4 x)}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 y^{2} - 4 x)}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$