Cálculo Ejemplos

$\int x^{2} \arcsin (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \arcsin (x)$ y $d v = x^{2}$ .

$\arcsin (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\arcsin (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Paso 2.2

Combina $\arcsin (x)$ y $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

Paso 4

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Paso 5

Sea $x = \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ es positiva.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Simplifica $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Paso 6.1.1

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 6.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $\cos (t)$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \sin^{3} (t) d t$

Paso 7

Factoriza $\sin^{2} (t)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Paso 8

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sin^{2} (t)$ como $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Paso 9

Sea $u = \cos (t)$ . Entonces $d u = - \sin (t) d t$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 9.1

Deja $u = \cos (t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Paso 9.1.2

La derivada de $\cos (t)$ con respecto a $t$ es $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int - 1 + u^{2} d u$

Paso 10

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + C + \int u^{2} d u)$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica.

$\frac{1}{3} \arcsin (x) x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Paso 13.2

Simplifica.

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Paso 13.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Paso 13.2.2

Combina $\frac{\arcsin (x)}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Paso 13.2.3

Para escribir $- \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Paso 13.2.4

Combina $- \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3})$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) \cdot 3}{3} + C$

Paso 13.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) \cdot 3}{3} + C$

Paso 13.2.6

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{u^{3}}{3}) \cdot 3}{3} + C$

Paso 13.2.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - 3 (\frac{1}{3}) (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Paso 13.2.8

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{- 3}{3} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Paso 13.2.9

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 13.2.9.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Paso 13.2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.2.9.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Paso 13.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Paso 13.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{- 1}{1} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Paso 13.2.9.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (t)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \cos (t) + \frac{\cos^{3} (t)}{3})}{3} + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \cos (\arcsin (x)) + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\arcsin (x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Por lo tanto, $\cos (\arcsin (x))$ es $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

Paso 15.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \sqrt{1^{2} - x^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

Paso 15.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

Paso 15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3}}{3} + C$

Paso 15.3

Multiplica $- - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

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Paso 15.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + 1 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3}}{3} + C$

Paso 15.3.2

Multiplica $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ por $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3}}{3} + C$

Paso 15.4

Simplifica el numerador.

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Paso 15.4.1

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{{\sqrt{1 - x^{2}}}^{3}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{3}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{3}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.4

Reescribe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{3}$ como $\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{3}}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{3}}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.5

Aplica la regla del producto a $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.6

Reescribe ${(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}$ como ${((1 + x) (1 - x))}^{2} ((1 + x) (1 - x))$ .

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Paso 15.4.6.1

Factoriza ${(1 + x)}^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{2} (1 + x) {(1 - x)}^{3}}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.6.2

Factoriza ${(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{2} (1 + x) ({(1 - x)}^{2} (1 - x))}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.6.3

Mueve $1 + x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} (1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.6.4

Reescribe ${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}$ como ${((1 + x) (1 - x))}^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{2} (1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.6.5

Agrega paréntesis.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{2} ((1 + x) (1 - x))}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.7

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.8

Expande $(1 + x) (1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 15.4.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 (1 - x) + x (1 - x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.9

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 15.4.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.4.9.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.9.1.2

Multiplica $- x$ por $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x \cdot 1 + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.9.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.9.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x - x \cdot x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.9.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 15.4.9.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x - (x \cdot x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.9.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x - x^{2}) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.9.2

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 + 0 - x^{2}) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.9.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x^{2}) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.10

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{1 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.11

Multiplica $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ por $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.12

Factoriza $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ de $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

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Paso 15.4.12.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 1 - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.12.2

Factoriza $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ de $- x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- x^{2})}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.12.3

Factoriza $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ de $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- x^{2})$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 - x^{2})}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.13

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1^{2} - x^{2})}{3}}{3} + C$

Paso 15.4.14

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

Paso 15.5

Para escribir $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

Paso 15.6

Combina $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3}{3} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

Paso 15.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

Paso 15.8

Simplifica el numerador.

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Paso 15.8.1

Factoriza $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ de $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)$ .

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Paso 15.8.1.1

Factoriza $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ de $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3) - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

Paso 15.8.1.2

Factoriza $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ de $- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} ((- 1 (1 + x)) (1 - x))}{3}}{3} + C$

Paso 15.8.1.3

Factoriza $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ de $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} ((- 1 (1 + x)) (1 - x))$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 (1 + x)) (1 - x))}{3}}{3} + C$

Paso 15.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 \cdot 1 - 1 x) (1 - x))}{3}}{3} + C$

Paso 15.8.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 - 1 x) (1 - x))}{3}}{3} + C$

Paso 15.8.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 - x) (1 - x))}{3}}{3} + C$

Paso 15.8.5

Expande $(- 1 - x) (1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 15.8.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 (1 - x) - x (1 - x))}{3}}{3} + C$

Paso 15.8.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 \cdot 1 - 1 (- x) - x (1 - x))}{3}}{3} + C$

Paso 15.8.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 \cdot 1 - 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

Paso 15.8.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 15.8.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.8.6.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 - 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

Paso 15.8.6.1.2

Multiplica $- 1 (- x)$ .

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Paso 15.8.6.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + 1 x - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

Paso 15.8.6.1.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

Paso 15.8.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - x (- x))}{3}}{3} + C$

Paso 15.8.6.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)}{3}}{3} + C$

Paso 15.8.6.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.8.6.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))}{3}}{3} + C$

Paso 15.8.6.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - 1 \cdot - 1 x^{2})}{3}}{3} + C$

Paso 15.8.6.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x + 1 x^{2})}{3}}{3} + C$

Paso 15.8.6.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x + x^{2})}{3}}{3} + C$

Paso 15.8.6.2

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + 0 + x^{2})}{3}}{3} + C$

Paso 15.8.6.3

Suma $- 1$ y $0$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x^{2})}{3}}{3} + C$

Paso 15.8.7

Resta $1$ de $3$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (2 + x^{2})}{3}}{3} + C$

Paso 16

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} (\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (2 + x^{2})}{3}) + C$