Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5$

Paso 1

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 5$

Paso 2

Aplica la regla de división sintética en $\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5}{x - 1}$ cuando $x = 1$ .

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Paso 2.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$

Paso 2.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$

	$1$

Paso 2.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(4)$ .

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$
	$1$

Paso 2.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$
	$1$	$5$

Paso 2.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(5)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(5)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(8)$ .

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$
	$1$	$5$

Paso 2.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$
	$1$	$5$	$13$

Paso 2.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(13)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(13)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(5)$ .

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$	$13$
	$1$	$5$	$13$

Paso 2.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$1$	$5$	$13$
	$1$	$5$	$13$	$18$

Paso 2.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{2} + 5 x + 13 + \frac{18}{x - 1}$

Paso 2.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{2} + 5 x + 13 + \frac{18}{x - 1}$

Paso 3

Como $1 > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $1$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $1$

Paso 4

Aplica la regla de división sintética en $\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5}{x - 5}$ cuando $x = 5$ .

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Paso 4.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$

Paso 4.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$

	$1$

Paso 4.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(5)$ y coloca el resultado de $(5)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(4)$ .

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$
	$1$

Paso 4.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$
	$1$	$9$

Paso 4.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(9)$ por el divisor $(5)$ y coloca el resultado de $(45)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(8)$ .

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$
	$1$	$9$

Paso 4.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$
	$1$	$9$	$53$

Paso 4.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(53)$ por el divisor $(5)$ y coloca el resultado de $(265)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(5)$ .

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$	$265$
	$1$	$9$	$53$

Paso 4.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$5$	$45$	$265$
	$1$	$9$	$53$	$270$

Paso 4.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{2} + 9 x + 53 + \frac{270}{x - 5}$

Paso 4.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{2} + 9 x + 53 + \frac{270}{x - 5}$

Paso 5

Como $5 > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $5$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $5$

Paso 6

Aplica la regla de división sintética en $\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 5}{x + 5}$ cuando $x = - 5$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(- 5)$ y coloca el resultado de $(- 5)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(4)$ .

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$
	$1$	$- 1$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 1)$ por el divisor $(- 5)$ y coloca el resultado de $(5)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(8)$ .

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$
	$1$	$- 1$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$
	$1$	$- 1$	$13$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(13)$ por el divisor $(- 5)$ y coloca el resultado de $(- 65)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(5)$ .

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$	$- 65$
	$1$	$- 1$	$13$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 5$	$1$	$4$	$8$	$5$
		$- 5$	$5$	$- 65$
	$1$	$- 1$	$13$	$- 60$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{2} + - 1 x + 13 + \frac{- 60}{x + 5}$

Paso 6.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{2} - x + 13 - \frac{60}{x + 5}$

Paso 7

Como $- 5 < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- 5$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- 5$

Paso 8

Determina los límites superior e inferior.

Cotas superiores: $1, 5$

Cota inferior: $- 5$

Paso 9