Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x - 5}{- 2 x + 2} d x$

Paso 1

Divide $x - 5$ por $- 2 x + 2$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$2$

$x$

$5$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $- 2 x$ .

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				+	$x$	-	$1$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x - 1$ .

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				-	$x$	+	$1$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				-	$x$	+	$1$
						-	$4$

Paso 1.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int - \frac{1}{2} - \frac{4}{- 2 x + 2} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{4}{- 2 x + 2} d x$

Paso 3

Cancela el factor común de $4$ y $- 2 x + 2$ .

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Paso 3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{- 2 x + 2} d x$

Paso 3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x) + 2} d x$

Paso 3.2.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x) + 2 (1)} d x$

Paso 3.2.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x + 1)} d x$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x + 1)} d x$

Paso 3.2.5

Reescribe la expresión.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2}{- x + 1} d x$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{2} x + C + \int - \frac{2}{- x + 1} d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} x + C - \int \frac{2}{- x + 1} d x$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} x + C - (2 \int \frac{1}{- x + 1} d x)$

Paso 7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Paso 8

Sea $u = - x + 1$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = - x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 8.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int \frac{- 1}{u} d u$

Paso 9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int - \frac{1}{u} d u$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} x + C - 2 (- \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 11

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- \frac{1}{2} x + C + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 12

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} x + C + 2 (\ln (| u |) + C)$

Paso 13

Simplifica.

$- \frac{1}{2} x + 2 \ln (| u |) + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x + 1$ .

$- \frac{1}{2} x + 2 \ln (| - x + 1 |) + C$