Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003)$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003) d x$

Paso 3

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int x^{2} \sin (x^{3} + 2003) d x$

Paso 4

Sea $u = x^{3} + 2003$ . Entonces $d u = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = x^{3} + 2003$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x^{3} + 2003$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2003]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 2003$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2003]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2003]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2003]$

Paso 4.1.4

Como $2003$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2003$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Paso 4.1.5

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Paso 5

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{3}{3} \int \sin (u) d u$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{3} \int \sin (u) d u$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \sin (u) d u$

Paso 7.3

Multiplica $\int \sin (u) d u$ por $1$ .

$\int \sin (u) d u$

Paso 8

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$- \cos (u) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} + 2003$ .

$- \cos (x^{3} + 2003) + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003)$ .

$F (x) =$ $- \cos (x^{3} + 2003) + C$