Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 + \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- d u = \sin (x) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja $u = 1 + \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia $1 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Paso 1.1.4

Resta $\sin (x)$ de $0$ .

$- \sin (x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

Paso 1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Paso 1.3.2

Suma $1$ y $1$ .

$u_{lower} = 2$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

Paso 1.5.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Paso 1.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Paso 1.5.2

Resta $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{2}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

Paso 2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int_{2}^{0} - \frac{1}{u} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{2}^{0} \frac{1}{u} d u$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |)]_{2}^{0})$

Paso 5

Evalúa $\ln (| u |)$ en $0$ y en $2$ .

$- (\ln (| 0 |) - \ln (| 2 |))$

Paso 6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 0 |}{| 2 |})$

Paso 7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$- \ln (\frac{0}{| 2 |})$

Paso 7.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$- \ln (\frac{0}{2})$

Paso 7.3

Divide $0$ por $2$ .

$- \ln (0)$

Paso 7.4

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida

$- \ln (0)$

Paso 8

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida