Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{20} 100 (k^{2} - 5 k + 1)$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$100 k^{2} + 100 (- 5 k) + 100 \cdot 1$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Multiplica $- 5$ por $100$ .

$100 k^{2} - 500 k + 100 \cdot 1$

Paso 1.2.2

Multiplica $100$ por $1$ .

$100 k^{2} - 500 k + 100$

Paso 1.3

Reescribe la suma.

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100 = 100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2} - 500 \sum_{k = 1}^{20} k + \sum_{k = 1}^{20} 100$

Paso 3

Evalúa $100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2}$ .

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Paso 3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 3.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(100) (\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6})$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1.1

Suma $20$ y $1$ .

$100 \frac{20 \cdot 21 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Paso 3.3.1.2

Combina exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Multiplica $20$ por $21$ .

$100 \frac{420 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $20$ .

$100 \frac{420 (40 + 1)}{6}$

Paso 3.3.1.3

Suma $40$ y $1$ .

$100 \frac{420 \cdot 41}{6}$

Paso 3.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $420$ por $41$ .

$100 (\frac{17220}{6})$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $100$ .

$2 (50) \frac{17220}{6}$

Paso 3.3.2.2.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$50 (\frac{17220}{3})$

Paso 3.3.2.3

Combina $50$ y $\frac{17220}{3}$ .

$\frac{50 \cdot 17220}{3}$

Paso 3.3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.4.1

Multiplica $50$ por $17220$ .

$\frac{861000}{3}$

Paso 3.3.2.4.2

Divide $861000$ por $3$ .

$287000$

Paso 4

Evalúa $500 \sum_{k = 1}^{20} k$ .

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Paso 4.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- 500) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1.1

Suma $20$ y $1$ .

$- 500 \frac{20 \cdot 21}{2}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $20$ por $21$ .

$- 500 (\frac{420}{2})$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 500$ .

$2 (- 250) \frac{420}{2}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 250 \frac{420}{2}$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- 250 \cdot 420$

Paso 4.3.3

Multiplica $- 250$ por $420$ .

$- 105000$

Paso 5

Evalúa $\sum_{k = 1}^{20} 100$ .

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Paso 5.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 5.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(100) (20)$

Paso 5.3

Multiplica $100$ por $20$ .

$2000$

Paso 6

Suma los resultados de las sumas.

$287000 - 105000 + 2000$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Resta $105000$ de $287000$ .

$182000 + 2000$

Paso 7.2

Suma $182000$ y $2000$ .

$184000$