Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} - \sqrt{x} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Paso 2.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Paso 2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Paso 2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int - \sqrt{x} d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - \int \sqrt{x} d x$

Paso 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 7

Simplifica.

$2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$