Cálculo Ejemplos

$\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1

Escribe $\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Paso 4

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 4.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 4.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 4.1.2

$\frac{A}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{B}{x + 2}$

Paso 4.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{(2 x + 1) {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2}}{x + 2}$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de ${(x + 2)}^{2}$ .

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Paso 4.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x + 1) {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2}}{x + 2}$

Paso 4.1.4.2

Divide $2 x + 1$ por $1$ .

$2 x + 1 = \frac{(A) {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2}}{x + 2}$

Paso 4.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.5.1

Cancela el factor común de ${(x + 2)}^{2}$ .

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Paso 4.1.5.1.1

Cancela el factor común.

$2 x + 1 = \frac{A {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2}}{x + 2}$

Paso 4.1.5.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$2 x + 1 = A + \frac{(B) {(x + 2)}^{2}}{x + 2}$

Paso 4.1.5.2

Cancela el factor común de ${(x + 2)}^{2}$ y $x + 2$ .

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Paso 4.1.5.2.1

Factoriza $x + 2$ de $(B) {(x + 2)}^{2}$ .

$2 x + 1 = A + \frac{(x + 2) (B (x + 2))}{x + 2}$

Paso 4.1.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.5.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$2 x + 1 = A + \frac{(x + 2) (B (x + 2))}{(x + 2) \cdot 1}$

Paso 4.1.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 x + 1 = A + \frac{(x + 2) (B (x + 2))}{(x + 2) \cdot 1}$

Paso 4.1.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x + 1 = A + \frac{B (x + 2)}{1}$

Paso 4.1.5.2.2.4

Divide $B (x + 2)$ por $1$ .

$2 x + 1 = A + B (x + 2)$

Paso 4.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 1 = A + B x + B \cdot 2$

Paso 4.1.5.4

Mueve $2$ a la izquierda de $B$ .

$2 x + 1 = A + B x + 2 B$

Paso 4.1.6

Reordena $A$ y $B x$ .

$2 x + 1 = B x + A + 2 B$

Paso 4.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 4.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = B$

Paso 4.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + 2 B$

Paso 4.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$2 = B$

$1 = A + 2 B$

$2 = B$

$1 = A + 2 B$

Paso 4.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 4.3.1

Reescribe la ecuación como $B = 2$ .

$B = 2$

$1 = A + 2 B$

Paso 4.3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $1 = A + 2 B$ por $2$ .

$1 = A + 2 (2)$

$B = 2$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$1 = A + 4$

$B = 2$

$1 = A + 4$

$B = 2$

$1 = A + 4$

$B = 2$

Paso 4.3.3

Resuelve $A$ en $1 = A + 4$ .

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Paso 4.3.3.1

Reescribe la ecuación como $A + 4 = 1$ .

$A + 4 = 1$

$B = 2$

Paso 4.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.3.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 1 - 4$

$B = 2$

Paso 4.3.3.2.2

Resta $4$ de $1$ .

$A = - 3$

$B = 2$

$A = - 3$

$B = 2$

$A = - 3$

$B = 2$

Paso 4.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$A = - 3 B = 2$

Paso 4.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - 3, B = 2$

Paso 4.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{B}{x + 2}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- 3}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{2}{x + 2}$

Paso 4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{2}{x + 2} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} d x + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} d x + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Paso 7

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$- (3 \int \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} d x) + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Paso 8

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 \int \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} d x + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Paso 9

Sea $u_{1} = x + 2$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 9.1

Deja $u_{1} = x + 2$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 9.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 9.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 9.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$- 3 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Paso 10

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 10.1

Mueve ${u_{1}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- 3 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Paso 10.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 10.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Paso 10.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 3 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{- 2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- 3 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Paso 12

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- 3 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Paso 13

Sea $u_{2} = x + 2$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 13.1

Deja $u_{2} = x + 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 13.1.1

Diferencia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 13.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 13.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 13.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 13.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 13.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- 3 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 14

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 3 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica.

$- 3 (- \frac{1}{u_{1}}) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 15.2

Simplifica.

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Paso 15.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$3 \frac{1}{u_{1}} + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 15.2.2

Combina $3$ y $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{3}{u_{1}} + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 16

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 16.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 2$ .

$\frac{3}{x + 2} + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 16.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 2$ .

$\frac{3}{x + 2} + 2 \ln (| x + 2 |) + C$

Paso 17

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{x + 2} + 2 \ln (| x + 2 |) + C$