Cálculo Ejemplos

$y = \sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π)$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [\sin (4 x)]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \sin (y)$ y $g (y) = 4 x$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.2.1.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $y$ es $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\cos (4 x) (4 x') + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 8 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 8 x^{2}$ con respecto a $y$ es $- 8 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.3.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (2 x x') + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.3.4

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [9 x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $9$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $y$ es $9 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.4.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x' + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.5

Como $π$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $π$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x' + 0$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Suma $\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x'$ y $0$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x'$

Paso 3.6.2

Reordena los términos.

$4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = 4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x' = 1$ .

$4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x' = 1$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Reordena los factores en $4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x'$ .

$4 x' \cos (4 x) - 16 x x' + 9 x' = 1$

Paso 5.3

Factoriza $x'$ de $4 x' \cos (4 x) - 16 x x' + 9 x'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $x'$ de $4 x' \cos (4 x)$ .

$x' (4 \cos (4 x)) - 16 x x' + 9 x' = 1$

Paso 5.3.2

Factoriza $x'$ de $- 16 x x'$ .

$x' (4 \cos (4 x)) + x' (- 16 x) + 9 x' = 1$

Paso 5.3.3

Factoriza $x'$ de $9 x'$ .

$x' (4 \cos (4 x)) + x' (- 16 x) + x' \cdot 9 = 1$

Paso 5.3.4

Factoriza $x'$ de $x' (4 \cos (4 x)) + x' (- 16 x)$ .

$x' (4 \cos (4 x) - 16 x) + x' \cdot 9 = 1$

Paso 5.3.5

Factoriza $x'$ de $x' (4 \cos (4 x) - 16 x) + x' \cdot 9$ .

$x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9) = 1$

Paso 5.4

Divide cada término en $x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9) = 1$ por $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9) = 1$ por $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ .

$\frac{x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9)}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9} = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9)}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9} = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$