Cálculo Ejemplos

$\frac{3 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1

Escribe $\frac{3 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{3 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{3 x - 1}{{(x - 1)}^{2}} d x$

Paso 4

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 4.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 4.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1}$

Paso 4.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 x - 1) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de ${(x - 1)}^{2}$ .

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Paso 4.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 x - 1) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Paso 4.1.4.2

Divide $3 x - 1$ por $1$ .

$3 x - 1 = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Paso 4.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.5.1

Cancela el factor común de ${(x - 1)}^{2}$ .

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Paso 4.1.5.1.1

Cancela el factor común.

$3 x - 1 = \frac{A {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Paso 4.1.5.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$3 x - 1 = A + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Paso 4.1.5.2

Cancela el factor común de ${(x - 1)}^{2}$ y $x - 1$ .

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Paso 4.1.5.2.1

Factoriza $x - 1$ de $(B) {(x - 1)}^{2}$ .

$3 x - 1 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.5.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$3 x - 1 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}$

Paso 4.1.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$3 x - 1 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}$

Paso 4.1.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$3 x - 1 = A + \frac{B (x - 1)}{1}$

Paso 4.1.5.2.2.4

Divide $B (x - 1)$ por $1$ .

$3 x - 1 = A + B (x - 1)$

Paso 4.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x - 1 = A + B x + B \cdot - 1$

Paso 4.1.5.4

Mueve $- 1$ a la izquierda de $B$ .

$3 x - 1 = A + B x - 1 \cdot B$

Paso 4.1.5.5

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$3 x - 1 = A + B x - B$

Paso 4.1.6

Reordena $A$ y $B x$ .

$3 x - 1 = B x + A - B$

Paso 4.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 4.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$3 = B$

Paso 4.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 1 = A - 1 B$

Paso 4.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$3 = B$

$- 1 = A - 1 B$

$3 = B$

$- 1 = A - 1 B$

Paso 4.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 4.3.1

Reescribe la ecuación como $B = 3$ .

$B = 3$

$- 1 = A - 1 B$

Paso 4.3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $3$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $- 1 = A - 1 B$ por $3$ .

$- 1 = A - 1 \cdot 3$

$B = 3$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 1 = A - 3$

$B = 3$

$- 1 = A - 3$

$B = 3$

$- 1 = A - 3$

$B = 3$

Paso 4.3.3

Resuelve $A$ en $- 1 = A - 3$ .

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Paso 4.3.3.1

Reescribe la ecuación como $A - 3 = - 1$ .

$A - 3 = - 1$

$B = 3$

Paso 4.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$A = - 1 + 3$

$B = 3$

Paso 4.3.3.2.2

Suma $- 1$ y $3$ .

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

Paso 4.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$A = 2 B = 3$

Paso 4.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 2, B = 3$

Paso 4.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{2}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{3}{x - 1}$

Paso 4.5

Elimina el cero de la expresión.

$\int \frac{2}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{3}{x - 1} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{2}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x - 1} d x$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x - 1} d x$

Paso 7

Sea $u_{1} = x - 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{1} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 7.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{3}{x - 1} d x$

Paso 8

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 8.1

Mueve ${u_{1}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$2 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x - 1} d x$

Paso 8.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 8.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x - 1} d x$

Paso 8.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{3}{x - 1} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{- 2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{3}{x - 1} d x$

Paso 10

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 11

Sea $u_{2} = x - 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 11.1

Deja $u_{2} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 11.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 11.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 11.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 12

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica.

$2 (- \frac{1}{u_{1}}) + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 13.2

Simplifica.

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Paso 13.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \frac{1}{u_{1}} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 13.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{- 2}{u_{1}} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 13.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{u_{1}} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 1$ .

$- \frac{2}{x - 1} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 1$ .

$- \frac{2}{x - 1} + 3 \ln (| x - 1 |) + C$

Paso 15

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{3 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{x - 1} + 3 \ln (| x - 1 |) + C$