Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 3 \cos (x) \sin (\sin (x)) d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (\sin (x)) d x$

Paso 2

Sea $u = \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Paso 2.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Paso 2.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$3 \int_{0}^{1} \sin (u) d u$

Paso 3

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$3 (- \cos (u)]_{0}^{1})$

Paso 4

Evalúa $- \cos (u)$ en $1$ y en $0$ .

$3 (- \cos (1) + \cos (0))$

Paso 5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$3 (- \cos (1) + 1)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\cos (1)$ .

$3 (- 1 \cdot 0.5403023 + 1)$

Paso 6.2

Multiplica $- 1$ por $0.5403023$ .

$3 (- 0.5403023 + 1)$

Paso 6.3

Suma $- 0.5403023$ y $1$ .

$3 \cdot 0.45969769$

Paso 6.4

Multiplica $3$ por $0.45969769$ .

$1.37909308$