Cálculo Ejemplos

$5 x - 3 {(x - 1)}^{2}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$f (x) = 5 x - 3 ((x - 1) (x - 1))$

Paso 1.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = 5 x - 3 (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = 5 x - 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = 5 x - 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} - x - x + 1)$

Paso 1.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$f (x) = 5 x - 3 (x^{2} - 2 x + 1)$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = 5 x - 3 x^{2} - 3 (- 2 x) - 3 \cdot 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$f (x) = 5 x - 3 x^{2} + 6 x - 3 \cdot 1$

Paso 1.5.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f (x) = 5 x - 3 x^{2} + 6 x - 3$

Paso 2

Suma $5 x$ y $6 x$ .

$f (x) = - 3 x^{2} + 11 x - 3$

Paso 3

El máximo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es negativa, el valor máximo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 4

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{11}{2 (- 3)}$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{11}{2 (- 3)}$

Paso 4.3

Simplifica $- \frac{11}{2 (- 3)}$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$x = - \frac{11}{- 6}$

Paso 4.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - - \frac{11}{6}$

Paso 4.3.3

Multiplica $- - \frac{11}{6}$ .

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Paso 4.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 (\frac{11}{6})$

Paso 4.3.3.2

Multiplica $\frac{11}{6}$ por $1$ .

$x = \frac{11}{6}$

Paso 5

Evalúa $f (\frac{11}{6})$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{11}{6}$ en la expresión.

$f (\frac{11}{6}) = - 3 {(\frac{11}{6})}^{2} + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{11}{6}$ .

$f (\frac{11}{6}) = - 3 \frac{11^{2}}{6^{2}} + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Paso 5.2.1.2

Eleva $11$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{11}{6}) = - 3 \frac{121}{6^{2}} + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Paso 5.2.1.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{11}{6}) = - 3 (\frac{121}{36}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Paso 5.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1.4.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f (\frac{11}{6}) = 3 (- 1) (\frac{121}{36}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Paso 5.2.1.4.2

Factoriza $3$ de $36$ .

$f (\frac{11}{6}) = 3 \cdot (- 1 \frac{121}{3 \cdot 12}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Paso 5.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{11}{6}) = 3 \cdot (- 1 \frac{121}{3 \cdot 12}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Paso 5.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{11}{6}) = - 1 (\frac{121}{12}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Paso 5.2.1.5

Reescribe $- 1 (\frac{121}{12})$ como $- (\frac{121}{12})$ .

$f (\frac{11}{6}) = - (\frac{121}{12}) + 11 (\frac{11}{6}) - 3$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $11 (\frac{11}{6})$ .

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Paso 5.2.1.6.1

Combina $11$ y $\frac{11}{6}$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{11 \cdot 11}{6} - 3$

Paso 5.2.1.6.2

Multiplica $11$ por $11$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121}{6} - 3$

Paso 5.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 5.2.2.1

Multiplica $\frac{121}{6}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121}{6} \cdot \frac{2}{2} - 3$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $\frac{121}{6}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{6 \cdot 2} - 3$

Paso 5.2.2.3

Escribe $- 3$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{- 3}{1}$

Paso 5.2.2.4

Multiplica $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{12}{12}$

Paso 5.2.2.5

Multiplica $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{- 3 \cdot 12}{12}$

Paso 5.2.2.6

Reordena los factores de $6 \cdot 2$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{2 \cdot 6} + \frac{- 3 \cdot 12}{12}$

Paso 5.2.2.7

Multiplica $2$ por $6$ .

$f (\frac{11}{6}) = - \frac{121}{12} + \frac{121 \cdot 2}{12} + \frac{- 3 \cdot 12}{12}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{11}{6}) = \frac{- 121 + 121 \cdot 2 - 3 \cdot 12}{12}$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Multiplica $121$ por $2$ .

$f (\frac{11}{6}) = \frac{- 121 + 242 - 3 \cdot 12}{12}$

Paso 5.2.4.2

Multiplica $- 3$ por $12$ .

$f (\frac{11}{6}) = \frac{- 121 + 242 - 36}{12}$

Paso 5.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.5.1

Suma $- 121$ y $242$ .

$f (\frac{11}{6}) = \frac{121 - 36}{12}$

Paso 5.2.5.2

Resta $36$ de $121$ .

$f (\frac{11}{6}) = \frac{85}{12}$

Paso 5.2.6

La respuesta final es $\frac{85}{12}$ .

$\frac{85}{12}$

Paso 6

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el máximo.

$(\frac{11}{6}, \frac{85}{12})$

Paso 7