Cálculo Ejemplos

$\arcsin (x)$

Paso 1

La derivada de $\arcsin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.1.2

Reescribe $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Paso 2.1.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

Paso 2.1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 2.7

Combina fracciones.

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Paso 2.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 2.7.2

Combina ${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 2.7.3

Mueve ${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.12

Multiplica.

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Paso 2.12.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.12.2

Multiplica $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Paso 2.14

Simplifica los términos.

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Paso 2.14.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Paso 2.14.2

Combina $\frac{2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.14.3

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.14.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.14.5

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$