Cálculo Ejemplos

$y = x^{2^{x}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2^{x}})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Reescribe $x^{2^{x}}$ como $e^{\ln (x^{2^{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2^{x}})}]$

Paso 3.1.2

Expande $\ln (x^{2^{x}})$ ; para ello, mueve $2^{x}$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{2^{x} \ln (x)}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2^{x} \ln (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2^{x} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x)]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2^{x} \ln (x)$ .

$e^{2^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x)]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 2^{x}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{2^{x} \ln (x)} (2^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Paso 3.4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{2^{x} \ln (x)} (2^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Paso 3.5

Combina $2^{x}$ y $\frac{1}{x}$ .

$e^{2^{x} \ln (x)} (\frac{2^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $2$ .

$e^{2^{x} \ln (x)} (\frac{2^{x}}{x} + \ln (x) (2^{x} \ln (2)))$

Paso 3.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{2^{x} \ln (x)} \frac{2^{x}}{x} + e^{2^{x} \ln (x)} (\ln (x) (2^{x} \ln (2)))$

Paso 3.7.2

Combina $e^{2^{x} \ln (x)}$ y $\frac{2^{x}}{x}$ .

$\frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x} + e^{2^{x} \ln (x)} (\ln (x) (2^{x} \ln (2)))$

Paso 3.7.3

Reordena los términos.

$2^{x} e^{2^{x} \ln (x)} \ln (2) \ln (x) + \frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 2^{x} e^{2^{x} \ln (x)} \ln (2) \ln (x) + \frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2^{x} e^{2^{x} \ln (x)} \ln (2) \ln (x) + \frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x}$