Cálculo Ejemplos

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2}{n + 3} - \frac{3}{n + 2}}{n + 5}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{2}{n + 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{n + 2}{n + 2}$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2}{n + 3} \cdot \frac{n + 2}{n + 2} - \frac{3}{n + 2}}{n + 5}$

Paso 1.2

Para escribir $- \frac{3}{n + 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{n + 3}{n + 3}$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2}{n + 3} \cdot \frac{n + 2}{n + 2} - \frac{3}{n + 2} \cdot \frac{n + 3}{n + 3}}{n + 5}$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(n + 3) (n + 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{2}{n + 3}$ por $\frac{n + 2}{n + 2}$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2 (n + 2)}{(n + 3) (n + 2)} - \frac{3}{n + 2} \cdot \frac{n + 3}{n + 3}}{n + 5}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{3}{n + 2}$ por $\frac{n + 3}{n + 3}$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2 (n + 2)}{(n + 3) (n + 2)} - \frac{3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3)}}{n + 5}$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de $(n + 3) (n + 2)$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2 (n + 2)}{(n + 2) (n + 3)} - \frac{3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3)}}{n + 5}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3)}}{n + 5}$

Paso 2

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3)} \cdot \frac{1}{n + 5}$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3)}$ por $\frac{1}{n + 5}$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{n \to - 5} 2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $- 5$ .

$\frac{lim_{n \to - 5} 2 (n + 2) - lim_{n \to - 5} 3 (n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Paso 3.1.2.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$\frac{2 lim_{n \to - 5} n + 2 - lim_{n \to - 5} 3 (n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Paso 3.1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $- 5$ .

$\frac{2 (lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 2) - lim_{n \to - 5} 3 (n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Paso 3.1.2.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $n$ se acerca a $- 5$ .

$\frac{2 (lim_{n \to - 5} n + 2) - lim_{n \to - 5} 3 (n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Paso 3.1.2.5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$\frac{2 (lim_{n \to - 5} n + 2) - 3 lim_{n \to - 5} n + 3}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Paso 3.1.2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $- 5$ .

$\frac{2 (lim_{n \to - 5} n + 2) - 3 (lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Paso 3.1.2.7

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $n$ se acerca a $- 5$ .

$\frac{2 (lim_{n \to - 5} n + 2) - 3 (lim_{n \to - 5} n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Paso 3.1.2.8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 5$ para todos los casos de $n$ .

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Paso 3.1.2.8.1

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $- 5$ para $n$ .

$\frac{2 (- 5 + 2) - 3 (lim_{n \to - 5} n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Paso 3.1.2.8.2

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $- 5$ para $n$ .

$\frac{2 (- 5 + 2) - 3 (- 5 + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Paso 3.1.2.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.9.1.1

Suma $- 5$ y $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3 - 3 (- 5 + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Paso 3.1.2.9.1.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{- 6 - 3 (- 5 + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Paso 3.1.2.9.1.3

Suma $- 5$ y $3$ .

$\frac{- 6 - 3 \cdot - 2}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Paso 3.1.2.9.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{- 6 + 6}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Paso 3.1.2.9.2

Suma $- 6$ y $6$ .

$\frac{0}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $- 5$ .

$\frac{0}{lim_{n \to - 5} n + 2 \cdot lim_{n \to - 5} n + 3 \cdot lim_{n \to - 5} n + 5}$

Paso 3.1.3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $- 5$ .

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 2) \cdot lim_{n \to - 5} n + 3 \cdot lim_{n \to - 5} n + 5}$

Paso 3.1.3.3

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $n$ se acerca a $- 5$ .

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + 2) \cdot lim_{n \to - 5} n + 3 \cdot lim_{n \to - 5} n + 5}$

Paso 3.1.3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $- 5$ .

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + 2) \cdot (lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 3) \cdot lim_{n \to - 5} n + 5}$

Paso 3.1.3.5

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $n$ se acerca a $- 5$ .

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + 2) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 3) \cdot lim_{n \to - 5} n + 5}$

Paso 3.1.3.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $- 5$ .

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + 2) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 3) \cdot (lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 5)}$

Paso 3.1.3.7

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $n$ se acerca a $- 5$ .

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + 2) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 3) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 5)}$

Paso 3.1.3.8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 5$ para todos los casos de $n$ .

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Paso 3.1.3.8.1

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $- 5$ para $n$ .

$\frac{0}{(- 5 + 2) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 3) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 5)}$

Paso 3.1.3.8.2

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $- 5$ para $n$ .

$\frac{0}{(- 5 + 2) \cdot (- 5 + 3) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 5)}$

Paso 3.1.3.8.3

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $- 5$ para $n$ .

$\frac{0}{(- 5 + 2) \cdot (- 5 + 3) \cdot (- 5 + 5)}$

Paso 3.1.3.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.9.1

Suma $- 5$ y $2$ .

$\frac{0}{- 3 \cdot (- 5 + 3) \cdot (- 5 + 5)}$

Paso 3.1.3.9.2

Suma $- 5$ y $3$ .

$\frac{0}{- 3 \cdot - 2 \cdot (- 5 + 5)}$

Paso 3.1.3.9.3

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{0}{6 \cdot (- 5 + 5)}$

Paso 3.1.3.9.4

Suma $- 5$ y $5$ .

$\frac{0}{6 \cdot 0}$

Paso 3.1.3.9.5

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.9.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.10

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3) (n + 5)} = lim_{n \to - 5} \frac{\frac{d}{d n} [2 (n + 2) - 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{d}{d n} [2 (n + 2) - 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 (n + 2) - 3 (n + 3)$ con respecto a $n$ es $\frac{d}{d n} [2 (n + 2)] + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{d}{d n} [2 (n + 2)] + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Paso 3.3.3

Evalúa $\frac{d}{d n} [2 (n + 2)]$ .

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Paso 3.3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $n$ , la derivada de $2 (n + 2)$ con respecto a $n$ es $2 \frac{d}{d n} [n + 2]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 \frac{d}{d n} [n + 2] + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Paso 3.3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $n + 2$ con respecto a $n$ es $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [2]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [2]) + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Paso 3.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ es $n \cdot n^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (1 + \frac{d}{d n} [2]) + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Paso 3.3.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $n$ , la derivada de $2$ con respecto a $n$ es $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (1 + 0) + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Paso 3.3.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Paso 3.3.3.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Paso 3.3.4

Evalúa $\frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]$ .

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Paso 3.3.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $n$ , la derivada de $- 3 (n + 3)$ con respecto a $n$ es $- 3 \frac{d}{d n} [n + 3]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3 \frac{d}{d n} [n + 3]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Paso 3.3.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $n + 3$ con respecto a $n$ es $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [3]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3 (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [3])}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Paso 3.3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ es $n \cdot n^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3 (1 + \frac{d}{d n} [3])}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Paso 3.3.4.4

Como $3$ es constante con respecto a $n$ , la derivada de $3$ con respecto a $n$ es $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3 (1 + 0)}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Paso 3.3.4.5

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Paso 3.3.4.6

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Paso 3.3.5

Resta $3$ de $2$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ es $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ donde $f (n) = (n + 2) (n + 3)$ y $g (n) = n + 5$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 5] + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

Paso 3.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $n + 5$ con respecto a $n$ es $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [5]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [5]) + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

Paso 3.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ es $n \cdot n^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) (1 + \frac{d}{d n} [5]) + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

Paso 3.3.9

Como $5$ es constante con respecto a $n$ , la derivada de $5$ con respecto a $n$ es $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) (1 + 0) + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

Paso 3.3.10

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) \cdot 1 + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

Paso 3.3.11

Multiplica $n + 2$ por $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

Paso 3.3.12

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ es $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ donde $f (n) = n + 2$ y $g (n) = n + 3$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) ((n + 2) \frac{d}{d n} [n + 3] + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

Paso 3.3.13

Según la regla de la suma, la derivada de $n + 3$ con respecto a $n$ es $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [3]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) ((n + 2) (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [3]) + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

Paso 3.3.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ es $n \cdot n^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) ((n + 2) (1 + \frac{d}{d n} [3]) + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

Paso 3.3.15

Como $3$ es constante con respecto a $n$ , la derivada de $3$ con respecto a $n$ es $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) ((n + 2) (1 + 0) + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

Paso 3.3.16

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) ((n + 2) \cdot 1 + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

Paso 3.3.17

Multiplica $n + 2$ por $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

Paso 3.3.18

Según la regla de la suma, la derivada de $n + 2$ con respecto a $n$ es $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [2]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + (n + 3) (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [2]))}$

Paso 3.3.19

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ es $n \cdot n^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + (n + 3) (1 + \frac{d}{d n} [2]))}$

Paso 3.3.20

Como $2$ es constante con respecto a $n$ , la derivada de $2$ con respecto a $n$ es $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + (n + 3) (1 + 0))}$

Paso 3.3.21

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + (n + 3) \cdot 1)}$

Paso 3.3.22

Multiplica $n + 3$ por $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + n + 3)}$

Paso 3.3.23

Suma $n$ y $n$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (2 n + 2 + 3)}$

Paso 3.3.24

Suma $2$ y $3$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (2 n + 5)}$

Paso 3.3.25

Simplifica.

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Paso 3.3.25.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) n + (n + 2) \cdot 3 + (n + 5) (2 n + 5)}$

Paso 3.3.25.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n \cdot n + 2 n + (n + 2) \cdot 3 + (n + 5) (2 n + 5)}$

Paso 3.3.25.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n \cdot n + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + (n + 5) (2 n + 5)}$

Paso 3.3.25.4

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n \cdot n + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + (n + 5) (2 n) + (n + 5) \cdot 5}$

Paso 3.3.25.5

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n \cdot n + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + (n + 5) \cdot 5}$

Paso 3.3.25.6

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n \cdot n + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Paso 3.3.25.7

Combina los términos.

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Paso 3.3.25.7.1

Eleva $n$ a la potencia de $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{1} n + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Paso 3.3.25.7.2

Eleva $n$ a la potencia de $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{1} n^{1} + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Paso 3.3.25.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{1 + 1} + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Paso 3.3.25.7.4

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Paso 3.3.25.7.5

Mueve $3$ a la izquierda de $n$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 2 n + 3 \cdot n + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Paso 3.3.25.7.6

Multiplica $2$ por $3$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 2 n + 3 n + 6 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Paso 3.3.25.7.7

Suma $2 n$ y $3 n$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Paso 3.3.25.7.8

Eleva $n$ a la potencia de $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 (n^{1} n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Paso 3.3.25.7.9

Eleva $n$ a la potencia de $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 (n^{1} n^{1}) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Paso 3.3.25.7.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{1 + 1} + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Paso 3.3.25.7.11

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{2} + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Paso 3.3.25.7.12

Multiplica $2$ por $5$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{2} + 10 n + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Paso 3.3.25.7.13

Mueve $5$ a la izquierda de $n$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{2} + 10 n + 5 \cdot n + 5 \cdot 5}$

Paso 3.3.25.7.14

Multiplica $5$ por $5$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{2} + 10 n + 5 n + 25}$

Paso 3.3.25.7.15

Suma $10 n$ y $5 n$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{2} + 15 n + 25}$

Paso 3.3.25.7.16

Suma $n^{2}$ y $2 n^{2}$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{3 n^{2} + 5 n + 6 + 15 n + 25}$

Paso 3.3.25.7.17

Suma $5 n$ y $15 n$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{3 n^{2} + 20 n + 6 + 25}$

Paso 3.3.25.7.18

Suma $6$ y $25$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{3 n^{2} + 20 n + 31}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $- 5$ .

$\frac{lim_{n \to - 5} - 1}{lim_{n \to - 5} 3 n^{2} + 20 n + 31}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $- 1$ que es constante cuando $n$ se acerca a $- 5$ .

$\frac{- 1}{lim_{n \to - 5} 3 n^{2} + 20 n + 31}$

Paso 4.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $- 5$ .

$\frac{- 1}{lim_{n \to - 5} 3 n^{2} + lim_{n \to - 5} 20 n + lim_{n \to - 5} 31}$

Paso 4.4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$\frac{- 1}{3 lim_{n \to - 5} n^{2} + lim_{n \to - 5} 20 n + lim_{n \to - 5} 31}$

Paso 4.5

Mueve el exponente $2$ de $n^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{- 1}{3 {(lim_{n \to - 5} n)}^{2} + lim_{n \to - 5} 20 n + lim_{n \to - 5} 31}$

Paso 4.6

Mueve el término $20$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$\frac{- 1}{3 {(lim_{n \to - 5} n)}^{2} + 20 lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 31}$

Paso 4.7

Evalúa el límite de $31$ que es constante cuando $n$ se acerca a $- 5$ .

$\frac{- 1}{3 {(lim_{n \to - 5} n)}^{2} + 20 lim_{n \to - 5} n + 31}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 5$ para todos los casos de $n$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $- 5$ para $n$ .

$\frac{- 1}{3 {(- 5)}^{2} + 20 lim_{n \to - 5} n + 31}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $- 5$ para $n$ .

$\frac{- 1}{3 {(- 5)}^{2} + 20 \cdot - 5 + 31}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 1}{3 \cdot 25 + 20 \cdot - 5 + 31}$

Paso 6.1.2

Multiplica $3$ por $25$ .

$\frac{- 1}{75 + 20 \cdot - 5 + 31}$

Paso 6.1.3

Multiplica $20$ por $- 5$ .

$\frac{- 1}{75 - 100 + 31}$

Paso 6.1.4

Resta $100$ de $75$ .

$\frac{- 1}{- 25 + 31}$

Paso 6.1.5

Suma $- 25$ y $31$ .

$\frac{- 1}{6}$

Paso 6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{6}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{6}$

Forma decimal:

$- 0.1\overline{6}$