Cálculo Ejemplos

$\int \frac{20 x}{\sqrt[3]{7 - 3 x^{2}}} d x$

Paso 1

Dado que $20$ es constante con respecto a $x$ , mueve $20$ fuera de la integral.

$20 \int \frac{x}{\sqrt[3]{7 - 3 x^{2}}} d x$

Paso 2

Sea $u = 7 - 3 x^{2}$ . Entonces $d u = - 6 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{6} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 7 - 3 x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $7 - 3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 - 3 x^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 - 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Paso 2.1.2.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 3 (2 x)$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$0 - 6 x$

Paso 2.1.4

Resta $6 x$ de $0$ .

$- 6 x$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$20 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{- 6} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$20 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} (- \frac{1}{6}) d u$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ por $\frac{1}{6}$ .

$20 \int - \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 6} d u$

Paso 3.3

Mueve $6$ a la izquierda de $\sqrt[3]{u}$ .

$20 \int - \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$20 (- \int \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u)$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $20$ .

$- 20 \int \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$- 20 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $- 20$ .

$\frac{- 20}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Paso 7.1.2

Cancela el factor común de $- 20$ y $6$ .

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 20$ .

$\frac{2 (- 10)}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Paso 7.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Paso 7.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Paso 7.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 10}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Paso 7.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{10}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Paso 7.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{10}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Paso 7.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{10}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Paso 7.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 7.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{10}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Paso 7.2.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$- \frac{10}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Paso 7.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{10}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{10}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $- \frac{10}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ como $- \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$- \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{10}{3}$ .

$- \frac{3 \cdot 10}{2 \cdot 3} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 9.2.2

Multiplica $3$ por $10$ .

$- \frac{30}{2 \cdot 3} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 9.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \frac{30}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 9.2.4

Cancela el factor común de $30$ y $6$ .

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Paso 9.2.4.1

Factoriza $6$ de $30$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 9.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.4.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{6 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 9.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 9.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{5}{1} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 9.2.4.2.4

Divide $5$ por $1$ .

$- 1 \cdot 5 u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 9.2.5

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 - 3 x^{2}$ .

$- 5 {(7 - 3 x^{2})}^{\frac{2}{3}} + C$