Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \sqrt{x + 1}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x \sqrt{x + 1} d x$

Paso 3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sqrt{x + 1}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 4.2

Combina $x$ y $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 5

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Paso 6

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe $\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ como $\frac{2}{3} x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{2}{3} x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 8.2.2

Combina $\frac{2 x}{3}$ y ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 8.2.3

Multiplica $\frac{2}{5}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 8.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 8.2.5

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 8.2.6

Para escribir $- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C$

Paso 8.2.7

Combina $- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Paso 8.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Paso 8.2.9

Combina $u^{\frac{5}{2}}$ y $\frac{4}{15}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15} \cdot 3}{3} + C$

Paso 8.2.10

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}}{3} + C$

Paso 8.2.11

Combina $- 3$ y $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{15}}{3} + C$

Paso 8.2.12

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

Paso 8.2.13

Factoriza $3$ de $- 12 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C$

Paso 8.2.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.14.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C$

Paso 8.2.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C$

Paso 8.2.14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Paso 8.2.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Paso 8.2.16

Para escribir $2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Paso 8.2.17

Combina $2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Paso 8.2.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Paso 8.2.19

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Paso 8.2.20

Reescribe $\frac{\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ como un producto.

$\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C$

Paso 8.2.21

Multiplica $\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Paso 8.2.22

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Paso 10

Reordena los términos.

$\frac{1}{15} (10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x \sqrt{x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{15} (10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$