Cálculo Ejemplos

$y = x e^{x^{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x^{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$x (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x (e^{x^{3}} (3 x^{2})) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} x^{1} (e^{x^{3}} \cdot (3)) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2 + 1} (e^{x^{3}} \cdot (3)) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1

Suma $2$ y $1$ .

$x^{3} (e^{x^{3}} \cdot (3)) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{x^{3}}$ .

$x^{3} (3 \cdot e^{x^{3}}) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{3} (3 e^{x^{3}}) + e^{x^{3}} \cdot 1$

Paso 8

Multiplica $e^{x^{3}}$ por $1$ .

$x^{3} (3 e^{x^{3}}) + e^{x^{3}}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reordena los términos.

$3 e^{x^{3}} x^{3} + e^{x^{3}}$

Paso 9.2

Reordena los factores en $3 e^{x^{3}} x^{3} + e^{x^{3}}$ .

$3 x^{3} e^{x^{3}} + e^{x^{3}}$